Algebra

Klausur

Hinweis: In den Aufgaben geht es darum, wahre oder falsche Aussagen zu erkennen. In der Tabelle auf der nächsten Seite bitte alle als wahr erkannte Aussagen mit W und alle als falsch erkannte Aussagen mit F kennzeichnen Im Zweifel ist es besser, keine Antwort zu geben, da für falsche Antworten Punkte abgezogen werden.

Eine Aussage der Form:

Sei R ein Ring. Es gibt ein x ∈ R mit x^{2} + 1 = 0.

ist als eine Aussage über alle Ringe zu interpretieren. In diesem Fall wäre die richtig Antwort F.

Name:

Punkte: Note:

Notenspiegel  Note 1 2 3 4  5 Punkte 45 37 30 22 ≤ 21

Nr. der Aufgabe 1 2 3 4 5 Punkte

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Aufgabe 1 Wir betrachten eine Gruppe G, welche durch zwei Erzeugende a, b mit den Relationen a^{2} = 1, b^{3} = 1 und abab = 1 präsentiert wird.

1. Die Gruppe G ist endlich.

2. Die Gruppe G hat 12 Elemente.

3. Die Gruppe G hat einen Normalteiler mit 2 Elementen.

4. Die Gruppe G hat einen Normalteiler mit 3 Elementen.

5. Die Gruppe G ist abelsch. Aufgabe 2 Wir betrachten die Gruppe G := GL(2, 𝔽_{p}) und schreiben die Elemente in der Form

g = ( \begin{matrix}a_{g} & b_{g} \\ c_{g} & d_{g} \end{matrix} ) .

1. Die Gruppe G ist auflösbar.

2. U := {g ∈ G|c_{g} = 0} ist eine Untergruppe und auflösbar.

3. U ist nilpotent.

4. V := {g ∈ U|a_{g} = d_{g} = 1} ist eine Untergruppe und nilpotent.

5. U ⊂ G ist ein Normalteiler. Aufgabe 3 Wir betrachten den Ring ℤ.

1. Für a, b ∈ ℤ gilt ℤ/abℤ ≅ ℤ/aℤ × ℤ/bℤ.

2. Seien a, b ∈ ℤ gegeben. Die Gleichung ax + by = 2 hat genau dann Lösungen, wenn a und b gerade sind.

3. Seien a, b, c ∈ ℤ. Die Gleichung ax+by = c hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen (x, y) ∈ ℤ × ℤ.

4. Seien p_{1}, p_{2}, p_{3} paarweise verschiedene Primzahlen und a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℤ beliebig. Die Menge {x ∈ ℤ|x ≡ a_{i} mod p_{i} für i = 1, 2, 3 } ist unendlich.

5. Der Ring ℤ/nℤ hat genau dann n − 1 Einheiten, wenn n ein Primzahl ist.

Aufgabe 4 Sei K ein Körper, A ein Ring und s : K → A ein zentralen Homomorphismus von Ringen. Wir können A als K-Vektorraum betrachten.

1. Der Homomorphismus s ist genau dann injektiv, wenn A nullteilerfrei ist.

2. Für a ∈ A sei M_{a} ∈ End_{K}(A) die Linksmultiplikation mit a. Durch a ↦ M_{a} wird ein injektiver Homomorphismus A → End_{K}(A) von Ringen definiert.

3. Es gilt A ≅ K genau dann wenn {M_{a}|a ∈ A} ≅ End_{K}(A).

4. Sei dim_{K}(A) = n ∈ ℕ. Ist x ∈ A nilpotent, dann ist ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}x^{i} das Inverse von 1 + x.

5. Sei K = ℂ, dim_{K}(A) endlich und größer als 1. Dann hat A Nullteiler. Aufgabe 5 Sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wir betrachten einen kommutativen Ring A der Charakteristik p. Sei Fr : A → A der durch x ↦ x^{p} gegebene Homomorphismus.

1. A besitzt von Null verschiedene nilpotente Elemente.

2. Es gibt keinen Homomorphismus von Ringen ℚ → A.

3. Fr : A → A ist ein Automorphismus.

4. Wenn A ≅ 𝔽_{p}[x] und f ∈ A nicht konstant ist, so hat Fr(f) mehrfache Nullstellen.

5. Aus |A| = p^{2} folgt A ≅ 𝔽_{p^{2}}. Aufgabe 6 Sei R ein kommutativer Ring und S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen.

1. Die Abbildung a ↦ \frac{a}{1} induziert einen injektiven Homomorphismus von Ringen R → S^{−1}R.

2. Das Komplement R \ S ist ein Primideal von R.

3. Wenn m ⊂ R ein maximales Ideal und S := R \ m ist, dann ist S^{−1}R ein Körper.

4. Wenn M ein R-Modul ist, dann gilt S^{−1}M ≅ 0 genau dann wenn M ≅ 0 gilt.

5. Wenn M → N eine surjektive Abbildung von R-Moduln ist, dann ist die induzierte Abbildung S^{−1}M → S^{−1}N auch surjektiv.

Aufgabe 7 Wir betrachten einen kommutativen Ring R.

1. Wenn R ein Hauptidealring ist, dann ist R noethersch.

2. Wenn R noethersch und a_{n+1} ⊆ a_{n} ⊆ a_{n−1} ⊆ ⋯ ⊆ R eine absteigende Folge von Idealen ist, dann gibt es ein n_{0} ∈ ℕ derart, daß für n ≥ n_{0} gilt: a_{n} = a_{n+1}.

3. Wenn jedes Element R als endliches Produkt von unzerlegbaren Elementen geschrieben werden kann, dann ist R faktoriell.

4. Wenn R ein Hauptidealring ist, dann ist jedes nicht-triviale Primideal von R maximal.

5. Wenn in R jede Teilerkette abbricht (R erfüllt also den Teilerkettensatz), dann

ist R faktoriell. Aufgabe 8 Wir betrachten den Ring der Gausschen Zahlen ℤ[i].

1. (2 + i) = (1 + 3i, 5 − 10i)

2. (2 − i) = (1 + 3i, 5 − 10i)

3. −3 + 4i ist ein Quadrat.

4. 5 + 4i ist nicht prim.

5. (5, 4i) = (1). Aufgabe 9 1. Sei R ein endlicher kommutativer Ring und M, N endlich erzeug-

te R-Moduln. Dann gilt folgende Identität für die Anzahl der Elemente:

|M ⊗_{R} N| = |M||N| .

2. Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Wenn für jeden R-Modul N eine Isomorphie M ⊗_{R} N ≅ N existiert, dann gilt M ≅ R als R-Modul.

3. Sei R ein kommutativer Ring, A, B, C R-Moduln und A → B eine injektive Abbildung. Dann ist die induzierte Abbildung A⊗_{R} C → B ⊗_{R} C auch injektiv.

4. Sei R ein kommutativer Ring, M ein R-Modul und M^{∗} := Hom_{R}(M, R). Die Abbildung λ : M ⊗ M^{∗} → End_{R}(M), λ(m, m^{∗})(n) := m^{∗}(n)m ist genau dann ein Isomorphismus, wenn M endlich erzeugt ist.

5. Sei K ein Körper, R ein kommutativer Ring, K → R ein Homomorphismus und A, B R-Moduln. Dann ist Hom_{K}(B, K) auf natürliche Weise ein R-Modul und es gibt einen natürlichen Isomorphismus

Hom_{R}(A, Hom_{K}(B, K)) ≅ Hom_{K}(A ⊗_{R} B, K) .

Aufgabe 10 1. Sei K ein Körper. Wenn f ∈ K[x] irreduzibel und separabel ist,

dann gilt für den Zerfällungskörper L/K von f [L : K] = deg(f).

2. X^{4} + 5 ist über ℚ[i] irreduzibel.

3. Sei a := \sqrt{5 + \sqrt{7 + \sqrt{8}}}. Dann gilt [ℚ(a) : ℚ]|8.

4. f := x^{4} − 5x^{2} + 6 ist das Minimalpolynom von \sqrt{2} über ℚ. Da auch f(\sqrt{3}) = 0 gilt, gibt es einen ℚ-Isomorphismus ℚ(\sqrt{2}) → ℚ(\sqrt{3}).

5. Ist f ∈ ℤ[x] über ℚ reduzibel, dann ist auch die Reduktion [f] ∈ 𝔽_{3}[x] reduzibel. Aufgabe 11 Seien K ein Körper, a_{1}, …, a_{n} ∈ K̄ und L := K(a_{1}, …, a_{n}).

1. Es gilt [L : K] = n.

2. Die Erweiterung L/K ist algebraisch.

3. Die Erweiterung L/K ist separabel.

4. Wenn char(K) = 0 ist, dann gibt es ein c ∈ K̄ mit L = K(c).

5. Es gibt einen K-Homomorphismus ϕ : L → L mit ϕ(a_{1}) = a_{2}.