Übungsaufgaben zur Vorlesung Differential- und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 1 WS 1997/98 1) Seien A,B,C Mengen. Zeige die Wahrheit der folgenden Aussagen.

i) A ⊂ B ⇔ A ∈ P(B) (Potenzmenge)

ii) A \ A = ϕ iii) A \ ϕ = A iv) A ⊂ A ∪ B

v) A ∩ B ⊂ A vi) A ⊂ B und C ⊂ B ⇔ A ∪ C ⊂ B vii) A ⊂ B und A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C viii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ix) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

x) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) (Skizzen) (4 Punkte)

2) Zeigen Sie die Beziehungen

R_{(f_{R})} = R, f_{(R_{f})} = f

zwischen Abbildungen f : A → B und funktionalen Relationen. (4 Punkte)

3) Geben Sie R_{f} an für:

a) konstante Abbildungen A → B mit Wert b ∈ B

b) id_{A} : A → A

c) Inklusion c : A′ ↪ A d) pr_{1} : A × B → A

e) f_{/D} : D → B, wobei D ⊂ A, f : A → B

f) f : A → A/R.

(6 Punkte)

4)a) Sei {Ai}i ∈ I eine Familie von Teilmengen von X, f : X → Y. Zeigen Sie, dass

f(∩_{i∈I}Ai) ⊂ ∩_{i∈I}f(Ai)

b) Geben Sie Menge A, B, X, Y und eine Abbildung f : X → Y, so, dass

f(A ∩ B) ≠ f(A) ∩ f(B)

gilt.

c) Seien f : X → Y, A, B ⊂ X. Zeigen Sie f(A) = ϕ ⇔ A = ϕ f^{−1}(A ∩ B) = f^{−1}(A) ∩ f^{−1}(B) f(f^{−1}(B)) ⊂ B und ’=’ gilt für jede B ⊂ Y wenn und erst wenn f surjektiv ist.

(4 Punkte)

5) Sei S : X × Y → Y × X mit S(x, y) := (y, x). Zeigen Sie

a) S bijektiv

b) f : X → Y bijektiv ⇒ S(R_{f}) = R_{f^{−1}}

c) S ∘ S = id_{X×X}

(4 Punkte)

6) Seien A, B, C, D Mengen und f : A → B, g : B → C, h : C → D. Zeigen Sie a) h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f

b) (g ∘ f)^{−1}(Γ) = f^{−1}(g^{−1}(Γ)) ∀Γ ⊂ C

(4 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 23. Oktober 1997, 12 Uhr