Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 10, WS 1997/98

1) Sei (X, T ) ein topologischer Raum.

a) Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) G ⊂ X ist eine offene Teilmenge.

(ii) Es gilt G ∩ \overline{A} ⊂ \overline{G ∩ A} für alle Teilmengen A ⊂ X.

b) Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) D ⊂ X ist eine dichte Teilmenge.

(ii) Es gilt \overline{D ∩ G} = \overline{G} für alle offenen Teilmengen G ⊂ X.

(6 Punkte)

2) Sei p ∈ (−1, 1). Zeigen Sie, daß die Folge {f_{n}}_{n∈IN}, f_{n} ∈ C([0, 2π]),

f_{n}(x) := ∑_{k=1}^{n} p^{k} sin(kx) ,

in C([0, 2π]) konvergiert. Schlagen Sie den Grenzwert in einem Tafelwerk (z.B. Ryshik/Gradstein) nach. \underline{Hinweis:} Sie dürfen benutzen, daß (ϕ_{k} : [0, 2π] ∋ x ↦ sin(kx) ∈ IR) ∈ C([0, 2π]) und ∥ϕ_{k}∥_{∞} = 1 gilt. Zeigen Sie, daß {f_{n}}_{n∈IN} eine Cauchy Folge ist (durch Vergleich mit einer geometrischen Reihe), und benutzen Sie die Vollständigkeit von C([0, 2π]). (4 Punkte)

3) Sei f : [a, b) → IR eine Funktion. Wir sagen, f sei in a von rechts differenzierbar und habe die Ableitung f′(a), wenn

lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = f′(a).

Analog definieren wir Differenzierbarkeit von links einer Funktion g : (c, a] → IR in a. a) Zeigen Sie, daß wenn f in a von rechts und g in a von links differenzierbar sind und

f(a) = g(a), f′(a) = g′(a) gilt, auch

h : (c, b) → IR, h(x) := \{ \begin{matrix}f(x), & x ∈ [a, b) \\ g(x), & x ∈ (c, a) \end{matrix}

in a differenzierbar ist. Was ist h′(a)?

b) In welchen Punkten x ∈ IR sind die Funktionen f und g, welche durch

f(x) := \{ \begin{matrix}x^{2}, & x < 0 \\ x, & x ≥ 0 \end{matrix} und g(x) := \{ \begin{matrix}x^{2}, & x < 0 \\ 0, & x ≥ 0 \end{matrix}

definiert werden, differenzierbar?

(4 Punkte)

4) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen f_{i} : IR → IR, i ∈ {1, 2}, welche durch

f_{1}(x) := (3 + x^{2} + 3x^{4})^{1/3}, f_{2}(x) := \frac{x|x|}{1 + x^{2}}

definiert sind.

(4 Punkte)

5) Sei a ∈ IR, n ∈ IN, und seien f, g : IR → IR zwei Funktionen, deren n–te Ableitungen f^{(n)}(a), g^{(n)}(a) existieren. Beweisen Sie dann die folgende Leibniz-Formel:

(f · g)^{(n)}(a) = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) f^{(k)}(a) · g^{(n−k)}(a) ,

wobei f^{(0)}(a) := f(a) und g^{(0)}(a) := g(a) gesetzt wird.

(4 Punkte)

6 a) Zeigen Sie, daß die Funktion f : IR → IR, welche durch

f(x) := \{ \begin{matrix}x^{2}, & x & irrational \\ 0, & x & rational \end{matrix}

definiert wird, an der Stelle 0 differenzierbar ist. Zeigen Sie, daß aber die Funktion g : IR → IR

g(x) := \{ \begin{matrix}x, & x & irrational \\ 0, & x & rational \end{matrix}

an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.

b) Zeigen Sie, daß eine Funktion f : IR → IR, welche |f(x)| ≤ x^{2} für alle x ∈ IR erfüllt, in 0 differenzierbar ist.

(4 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 09.01.98, 12 Uhr