Übungen zur Differential- und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke Blatt 12, WS 1997/98

1) a) Seien {a_{n}}_{n∈IN}, {b_{n}}_{n∈IN} Folgen komplexer Zahlen und ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{2}, ∑_{n=1}^{∞} |b_{n}|^{2} konvergent. Zeigen Sie, daß dann ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} absolut konvergent ist.

3 Punkte

b) Sei {a_{n}}_{n∈IN} eine Folge positiver reeller Zahlen und ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergent. Zeigen Sie, daß dann auch ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n} konvergent ist.

4 Punkte

2) Sei {a_{n}}_{n∈IN} eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen und ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergent. Zeigen Sie, daß dann lim_{n→∞} na_{n} = 0 gilt.

3 Punkte

3) Sei {a_{n}}_{n∈IN} eine Folge positiver reeller Zahlen und ∑_{n=1}^{∞} a_{n} nicht konvergent. Zeigen Sie, daß dann

∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}}

nicht konvergent ist.

3 Punkte 4) Bestimmen Sie f′ für die folgenden Funktionen.

1) f : (1, ∞) → IR, f(x) := e^{3[ln(x)]^{5/3}}

2) f : IR → IR, f(x) := ln(2 + sin x)

3) f : (0, ∞) → IR, f(x) := x^{sin x}

4) f : (−1, 1) → IR, f(x) := ∑_{n=2}^{∞}(n + 2)(n + 1)x^{n}

6 Punkte

5) Zeigen Sie, daß für alle x > 0 gilt a) x − \frac{x^{2}}{2} < ln(1 + x) 3 Punkte

b) x − 1 ≥ ln(x) ≥ 1 − \frac{1}{x}. 3 Punkte

Abgabe: Donnerstag, 22.01.1998, 12 Uhr