Übungen zur Differential- und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 13, WS 1997/98

1) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte

a) lim_{x→∞}(1 + \frac{a}{x})^{x}, a ∈ IR

b) lim_{x→∞} (\frac{2^{\frac{1}{x}} +3^{\frac{1}{x}}}{2} )^{x}
c) lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x}

d) lim_{x→∞} \frac{a^{x}}{x^{n}} , a > 0, n ∈ IN

e) lim_{x→0} \frac{sin x}{x}

15 Punkte

2) Sei f_{n} ∈ C_{b}(IR), f_{n}(x) := \frac{1}{\sqrt{n}} sin(nx). Zeigen Sie

a) lim_{n→∞} f_{n} = 0 (in C_{b}(IR))

b) {f′_{n}}_{n∈IN} konvergiert nicht punktweise.

4 Punkte

3) a) Sei f : IR → IR eine 2–mal differenzierbare Funktion, welche f′′ + f = 0 sowie f(0) = f′(0) = 0 erfüllt. Zeigen Sie, daß dann f = 0 gilt. \underline{Hinweis:}

1) Betrachten Sie g : IR → IR, g := (f′)^{2} + f^{2}. Zeigen Sie daß g′ = 0.

2) Schließen Sie daß g = 0 und daraus f = 0.

b) Benutzen Sie a), um einzusehen, daß die einzige 2–mal differenzierbare Funktion f : IR → IR, welche f′′ + f = 0, f(0) = a, f′(0) = b erfüllt, die Form f(x) = a cos(x) + b sin(x) haben muß.

4 Punkte

4) Wir betrachten f : [0, 4] → IR, f(x) := (x − 2)^{2}. Bestimmen Sie diejenige Funktion φ : [0, 4] → IR, welche unter allen höchstens 2 Werte annehmenden einfachen Funktionen mit φ ≤ f das Integral

∫_{0}^{4} φ(x)dx

maximiert.

4 Punkte

Abgabe: Donnerstag, 22.01.1998, 12 Uhr