Übungen zur Differential- und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke Blatt 14, WS 1997/98

Wiederholungsübungszettel zur Klausurvorbereitung

1) Zeigen Sie, daß für alle r ∈ IR die Funktion f_{r} : [0, 1] → IR, f_{r}(x) := x^{3} − 3x + r

höchstens eine Nullstelle hat.

3 Punkte

2) Zeigen Sie für die Funktion f : IR → IR

f(x) = \{ \begin{matrix}x sin(\frac{1}{x}) & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}

daß a) f stetig ist

b) f in 0 nicht differenzierbar ist.

4 Punkte

3) Sei f : IR → IR differenzierbar und gelte f′(x) ≠ 0 ∀x ∈ IR. Zeigen Sie, daß dann a) f(IR) ⊂ IR offen ist 2 Punkte b) f : IR → f(IR) eine Bijektion ist 2 Punkte c) die Umkehrfunktion g : f(IR) → IR differenzierbar ist. 1 Punkt

4) Seien f : IR → IR, g : IR → IR gegeben durch f(x) = x^{2}, g(x) = x^{2} − 2x + 4. Bestimmen Sie die Fläche von A := {(x, y) ∈ IR^{2} | x ≥ 0 und g(x) ≥ f(x)}.

4 Punkte 5) Zeigen Sie, daß für alle m ∈ ZZ \ {0}

∫_{0}^{2π}sin(mx)dx = ∫_{0}^{2π}cos(mx)dx = 0.

4 Punkte

6) Für welche a, s ∈ IR konvergiert die folgende Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}}{n^{s}} , a ∈ IR .

4 Punkte

7) Bestimmen Sie die Ableitung von f : IR → IR, wobei

a) f(x) := e^{sin(|x|x)}

b) f(x) := \frac{sin x}{sinh(x)}

(Der Rechenweg muß erkennbar sein.)

2 Punkte

8) Bestimmen Sie Stammfunktionen für f : IR → IR, wobei

a) f(x) := x^{2} sin x

b) f(x) := \frac{2x}{1+x^{2}}

(Der Rechenweg muß erkennbar sein.)

4 Punkte

Die Aufgaben werden in den Übungen und im Praktikum am 30.01.98 besprochen.