Übungen zur Differential und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke Blatt 2, WS 1997/98

1. Welche der folgenden Relationen sind funktionale Relationen? Begründen Sie Ihre Antworten.

i) A := IR, B := IR, R := {(x, y) ∈ A × B | x^{2} + y^{2} = 1} ⊂ A × B. ii) A := [−1, 1], B := IR, R := {(x, y) ∈ A × B | x^{2} + y^{2} = 1, y ≤ 0} ⊂ A × B. iii) A := IR, B := IR, R := {(x, y) ∈ A × B | (x^{2} − 1)y = 2x^{3} + x^{2} − 2x − 1} ⊂ A × B. iv) A := IR−{−1, 1}, B := IR, R := {(x, y) ∈ A×B | (x^{2}−1)y = 2x^{3}+x^{2}−2x−1} ⊂

A × B.

v) A := IR, B := IR, R := {(x, y) ∈ A × B | x rational ⇒ y = 0 und x irrational ⇒ y = 1}. (4 Punkte)

2. a) (Binomische Formel) Seien a, b ∈ IR, n ∈ IN. Zeigen Sie, daß

(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k}, wobei \binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n − k)!} (0! = 1).

b) Zeigen Sie, daß n! ≥ 2^{n−1} für alle n ∈ IN.

c) Zeigen Sie, daß 3 eine obere Schranke der Menge

A = \{(1 + \frac{1}{n})^{n}, n ∈ IN\}

ist. (Übringends ist sup A = e die Eulersche Zahl.) (6 Punkte)

3. i) Seien a, b ∈ IR mit 0 < a < b. Zeigen Sie, daß a < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < b gilt.

ii) Seien a, b ∈ IR. Zeigen Sie, daß für alle ϵ > 0

2ab ≤ ϵ a^{2} + \frac{1}{ϵ} b^{2}

gilt. (4 Punkte)

4. (Bernoulli-Ungleichung). Zeigen Sie die Wahrheit der folgenden Aussagen: i) Für alle a ∈ IR, a > −1, und n ∈ IN gilt (1 + a)^{n} ≥ 1 + na. ii) Für alle a ∈ IR, a > 0, und n ∈ IN, n ≥ 2, gilt (1 + a)^{n} > 1 + na. iii) Für alle a ∈ IR, 0 < a < \frac{1}{n}, und n ∈ IN gilt (1 + a)^{n} < \frac{1}{1−na}. (4 Punkte)

5. Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen nach oben und (oder) unten beschränkt sind, und finden Sie ihre Suprema bzw. Infima. Wann sind es Maxima, bzw. Minima?

a) A := \{x ∈ IR | \frac{1}{x} ∈ IN\}

b) B := A ∪ {0}

c) C := \{x ∈ IR | x > 0 und \frac{1}{x} ≤ 1\}

d) D := \{x ∈ IR | (∃n ∈ IN | x = \frac{1}{n} + (−1)^{n})\} (4 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 30.10.1997, 12 Uhr