Übungen zur Differential und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 3, WS 1997/98

1. Sei b ∈ IR, b > 0, q := \frac{m}{n} ∈ Q für m, n ∈ IN. Zeigen Sie, daß b^{q} := (b^{\frac{1}{n}})^{m} wohldefiniert ist (also unabhängig von der Darstellung der rationalen Zahl q als Quotient zweier natürlicher Zahlen).

2. Sei b ∈ IR, b > 1, x ∈ IR und

B(x) := {y ∈ IR | (∃ t ∈ Q | t ≤ x und y = b^{t})}.

a) Zeigen Sie, daß B(x) von oben beschränkt ist und, falls x ∈ Q, sup B(x) = b^{x} gilt.

b) Falls x ∉ Q, so definieren wir

(∗)  b^{x} := sup B(x) .

Zeigen Sie, daß für alle x, y ∈ IR gilt:

(∗∗)  b^{x}b^{y} = b^{x+y} .

c) Definieren Sie b^{x} für alle b > 0, x ∈ IR so, daß für alle x, y ∈ IR (∗∗) und alle b > 1, x ∈ IR (∗) gilt.

3. a) Sei X eine Menge und “≤” auf Hom(X, IR) durch

(f_{1} ≤ f_{2}) := (∀ x ∈ X | f_{1}(x) ≤ f_{2}(x))

definiert. Zeigen Sie, daß für f_{1}, f_{2}, f_{3} ∈ Hom(X, IR) die folgenden Aussagen wahr sind:

\begin{aligned}f_{1} ≤ f_{2} & und & f_{2} ≤ f_{3} & ⟹ & f_{1} ≤ f_{3} \\ f_{1} ≤ f_{2} & und & f_{2} ≤ f_{1} & ⟹ & f_{1} = f_{2} \end{aligned}

Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, daß nicht immer ( f_{1} ≤ f_{2} oder f_{2} ≤ f_{1} ) gilt.

b) Sei X eine Menge. Für f ∈ Hom(X, IR) definieren wir |f| ∈ Hom(X, IR) durch |f|(x) := |f(x)|. Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen wahr sind:

- |f| ist von oben beschränkt genau dann, wenn f beschränkt ist.

- inf_{x∈X} f(x) ≥ − sup_{x∈X} |f|(x)

- sup_{x∈X} f(x) ≤ sup_{x∈X} |f|(x)

Für f_{1}, f_{2} ∈ Hom(X, IR) gilt: |f_{1} + f_{2}| ≤ |f_{1}| + |f_{2}| und |f_{1} + f_{2}| ≥ |f_{1}| − |f_{2}|.

4. Finden Sie alle x ∈ IR, welche der Gleichung

|x − 2| − \frac{1}{3}|x| = 0

genügen. Fertigen Sie auch eine Skizze an.

5. Sei f ∈ Hom(IR, IR) und erfülle

f(x + y) = f(x) + f(y), f(x · y) = f(x) · f(y)

für alle x, y ∈ IR. Sei weiterhin f ≠ 0 ((f ≠ 0) := (∃x ∈ IR|f(x) ≠ 0)). Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen wahr sind:

a) f(1) = 1

b) f(x) = x ∀ x ∈ Q

c) f(x) > 0, wobei x > 0

d) f(x) > f(y), wobei x > y

e) f(x) = x ∀ x ∈ IR (Hinweis: Sie dürfen benutzen, daß f(x) = f(1) · x für alle x ∈ Q — siehe Übungsklasse).

6. Seien x_{0}, y_{0}, ε ∈ IR, ε > 0. Zeigen Sie folgendes:

a) Für alle x, y ∈ IR mit |x − x_{0}| < \frac{ε}{2} und |y − y_{0}| < \frac{ε}{2} gilt:

|(x + y) − (x_{0} + y_{0})| < ε und |(x − y) − (x_{0} − y_{0})| < ε.

b) Für y_{0} ≠ 0 und für alle y ∈ IR mit |y − y_{0}| < min (\frac{|y_{0}|}{2}, \frac{ε|y_{0}|^{2}}{2} ) gilt:

y ≠ 0 und |\frac{1}{y} − \frac{1}{y_{0}} | < ε.

Abgabe: Donnerstag, 6.11.1997, 12 Uhr