Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke Blatt 4, WS 1997/98

1. Sei A eine Menge. Zeigen Sie folgendes:

a) Wenn A unendlich ist, dann hat A eine abzählbare Teilmenge.

b) A ist genau dann unendlich, wenn es eine echte Teilmenge von A gibt, welche

gleichmächtig zu A ist.

(4 Punkte)

2. a) Finden Sie eine nicht konstante Abbildung f ∈ Hom(IR, IR) mit der Eigenschaft:

|f(y) − f(x)| ≤ |y − x| für alle x, y ∈ IR.

b) Zeigen Sie, daß jede Abbildung f ∈ Hom(IR, IR) mit der Eigenschaft:

f(y) − f(x) ≤ (y − x)^{2} für alle x, y ∈ IR

eine konstante Abbildung ist (d.h. es gibt ein y ∈ IR so daßf(x) = y für alle x ∈ IR). \underline{Hinweis zu b):} Für beliebige x, y ∈ IR mit x < y, unterteile das Intervall [x, y] in n gleiche Intervalle durch die Zahlen x = x + \frac{y−x}{n} · k, für k = 0, 1, 2, …, n und benutze

die Gleichung |f(y) − f(x)| = | ∑_{k=1}^{n} f(x_{k}) − f(x_{k−1})|.

(6 Punkte)

3. Sei X eine nichtleere Menge und d der diskrete Abstand auf X (d.h. d(x, y) := 1 falls x ≠ y und d(x, x) := 0). Zeigen Sie:

a) Für die unterliegende Topologie T_{d} gilt T_{d} = P(X) (P(X) bezeichnet die Potenzmenge von X).

b) Sei {x_{n}}_{n∈IN} eine Folge in X und x ∈ X. Dann gilt

lim_{n→∞} x_{n} = x

genau dann, wenn es ein n_{0} ∈ IN gibt, so daß x_{n} = x für alle n ≥ n_{0} gilt. (4 Punkte)

4. Sei X eine nichtleere Menge, T_{X} := {∅, X} ⊂ P(X). Zeigen Sie: a) T_{X} ist eine Topologie.

b) Wenn X mehr als ein Element enthält, so gibt es keinen Abstand d auf X mit T_{X} = T_{d}.

c) Ist {x_{n}}_{n∈IN} eine Folge in X und x ∈ X, so gilt

lim_{n→∞} x_{n} = x.

(4 Punkte)

5. Betrachte die Menge

Hom([0, 1], IR)_{0} := {f ∈ Hom([0, 1], IR) | sup_{x∈[0,1]} |f(x)| < ∞}

mit dem Abstand

d_{∞}(f, g) := sup_{x∈[0,1]} |f(x) − g(x)|.

Betrachte auch die Abbildungen f_{0}, f_{1}, f_{2}, … ∈ Hom([0, 1], IR) definiert durch:

f_{0}(x) = 1 ; f_{1}(x) = x ; ⋮ ; f_{n}(x) = x^{n} ; ⋮

a) Berechnen Sie d_{∞}(f_{i}, f_{j}) für alle i, j ∈ {0, 1, 2}.

b) Zeigen Sie, daß die Folge {f_{n}}_{n∈IN} in Hom([0, 1], IR)_{0} keinen Grenzwert hat. (Hinweis: Gehen Sie in folgenden Schritten vor:

a) f_{n} → f ⇒ f_{n}(x) → f(x) ∀ x ∈ [0, 1]

b) lim_{n→∞} f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}0, & x ≠ 1 \\ 1, & x = 1 \end{matrix} also f(x) := \{ \begin{matrix}0, & x ≠ 1 \\ 1, & x = 1 \end{matrix}

c) d_{∞}(f(x), f_{n}(x)) > \frac{1}{2} ∀ n ∈ IN (Bei Lust auch d_{∞}(f(x), f_{n}(x)) = 1 ∀ n ∈ IN).

(8 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 13.11.1997, 12 Uhr