Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 5, WS 1997/98

Allgemeine Begriffe

1. (3 Punkte) Sei {x_{k}}_{k∈IN} eine konvergente Folge in einem metrischen Raum (X, d). Zeigen Sie, daß die Menge {x_{k} | k ∈ IN} ⊂ X beschränkt ist. Für n ∈ IN betrachten wir die Menge

Z_{n} = {x_{k} | k ≥ n} ⊂ X.

Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} ∅(Z_{n}) = 0. (Hierbei steht ”∅” für Durchmesser).

2. (3 Punkte) Seien {x_{k}}_{k∈IN}, {y_{k}}_{k∈IN} konvergente Folgen in einem metrischen Raum

(X, d) und gelte

lim_{k→∞} x_{k} = lim_{k→∞} y_{k}.

Wir betrachten die Mengen A := {x_{k} | k ∈ IN} und B := {y_{k} | k ∈ IN}. Zeigen Sie, daß d(A, B) = 0.

3. (6 Punkte) a) Seien (Y, T_{Y}) ein topologischer Raum, X eine Menge und f : X → Y eine Abbildung. Wir definieren

T_{X} := {f^{−1}(V) | V ∈ T_{Y} }.

Zeigen Sie, daß T_{X} eine Topologie auf X ist. Zeigen Sie weiterhin, daß f : (X, T_{X}) → (Y, T_{Y}) stetig ist.

b) Seien (X, T_{X}) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. Wir definieren

T_{A} := {A ∩ U | U ∈ T_{X}}.

Zeigen Sie, daß T_{A} eine Topologie auf A ist (genannt die induzierte Topologie). Zeigen Sie weiterhin, daß die Inklusion i : (A, T_{A}) ↪ (X, T_{X}) stetig ist.

c) Seien (X, T_{X}), Y, T_{Y}) topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Seien A ⊂ X, B ⊂ Y Teilmengen, so daß f(A) ⊂ B. Zeigen Sie, daß

f|_{A} : A → B

eine stetige Abbildung ist, wobei A und B mit den induzierten Topologien versehen werden.

4. (2 Punkte) Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume. Zeigen Sie, daß jede isometrische Abbildung von X nach Y stetig ist.

5. (3 Punkte) Seien (X, T_{X}), (Y, T_{Y}), (Z, T_{Z}) topologische Räume, seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen und sei a ∈ X. Sei weiterhin f stetig in a und g stetig in f(a). Zeigen Sie, daß dann

g ∘ f : X → Z

stetig in a ist.

6. (3 Punkte) Seien (X, d_{X}) ein metrischer Raum, A ⊂ X eine Teilmenge und d_{A} = d_{X}|_{A×A} der induzierte Abstand. Zeigen Sie, daß

T_{A} = T_{d_{A}},

wobei T_{A} die induzierte Topologie auf A ist.

Spezielle Räume

7. (6 Punkte) Sei f : IR → IR eine stetige Funktion und X ⊂ IR eine beschränkte Teilmenge. Sei

a) f monoton wachsend, d.h.

(∀ x, y ∈ IR | x ≥ y ⇒ f(x) ≥ f(y))

oder

b) f monoton fallend, d.h.

(∀ x, y ∈ IR | x ≥ y ⇒ f(x) ≤ f(y)) .

Zeigen Sie, daß in beiden Fällen f(X) beschränkt ist und daß gilt:

a) \begin{matrix}sup f(X) = f(sup X) \\ inf f(X) = f(inf X) \end{matrix}

b) \begin{matrix}inf f(X) = f(sup X) \\ sup f(X) = f(inf X) . \end{matrix}

Zeigen Sie (durch Angabe eines Beispieles), daß man die Voraussetzung, daß f stetig ist, nicht weglassen kann. (Hinweis: Übungsklasse 4. Woche, 1. Aufgabe).

8. (4 Punkte) Sei A ⊂ IR eine Teilmenge und f : IR → IR durch

f(x) := inf{|x − a| | a ∈ A}

definiert. Zeigen Sie, daß f wohldefiniert ist (d.h {|x − a| | a ∈ A} ist von unten beschränkt), und daß gilt:

a) (∀ x, y ∈ IR | |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|)

b) f ist stetig.

9. (4 Punkte) a) Seien f, g : IR → IR stetige Funktionen und gelte f(q) = g(q) für alle q ∈ Q. Zeigen Sie, daß dann f = g.

b) Sei f : IR → IR eine stetige Funktion und gelte f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y ∈ IR. Zeigen Sie, daß dann ein c ∈ IR existiert, so daß f(x) = c x für alle x ∈ IR. (Hinweis: Übungsklasse 3. Woche, 3. Aufgabe).

10. (3 Punkte) Seien f, g : IR → IR stetige Funktionen und sei a ∈ IR, so daß f(a) = g(a) gilt. Wir definieren h : IR → IR durch

h(x) := \{ \begin{matrix}f(x), x ≤ a \\ g(x), x > a. \end{matrix}

Zeigen Sie, daß h stetig ist.

11. (5 Punkte) a) Sei f : [0, 1] → IR definiert durch

f(x) := \{ \begin{matrix}1 − x & , & x irrational \\ x & , & x rational \end{matrix}

An welchen Punkten des Intervalls [0, 1] ist f stetig? Begründen Sie Ihre Antwort und machen Sie sich das auch grafisch klar.

b) Sei a ∈ IR gegeben. Gebe eine Funktion f : IR → IR an, welche genau im Punkt a stetig ist.

Beispiele

12. (je 3 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Folgen in IR auf Konvergenz und berechnen Sie ihre Grenzwerte:

a) x_{n} := \sqrt{n^{2} + 2n} − n

b) x_{n} := n · \underline{k} ^{k} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} − n

c) x_{n} := \frac{n^{3}}{2^{n}}

d) x_{1} := \sqrt{2} und weiter induktiv x_{n} := \sqrt{2 + \sqrt{x_{n−1}}} für n ≥ 2.

e) x_{1} := 0, x_{2} := 1 und weiter induktiv x_{n} := \frac{1}{2}(x_{n−1} + x_{n−2}) für n ≥ 3.

f) x_{n} := \frac{(a+ \frac{1}{n})^{k}−a^{k}}{\frac{1}{n}}, wobei k ∈ IN, a ∈ IR

g) x_{n} := \frac{_{\frac{1}{a+ \frac{1}{n}}} − \frac{1}{a}}{\frac{1}{n}}, wobei a ∈ IR \ \{0\}.

Bearbeiten Sie mindestens jeweils zwei Aufgaben aus den Rubriken “Allgemeine Begriffe” und “Spezielle Räume” und fünf Fälle von Aufgabe 12. Denken Sie über die anderen Aufgaben nach und lesen Sie, wenn nötig, die Lösungsvorschläge.

Abgabe: Donnerstag, 20.11.1997, 12 Uhr