Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 6, WS 1997/98

1. Wir betrachten IR mit den Topologien

T_{1} := T_{d_{eu}}, T_{2} := P(IR), T_{3} := {∅, IR}.

Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Teilmengen E_{1} = (0, 1) und E_{2} := {0, 1} in (IR, T_{i}) für i = 1, 2, 3. (4 Punkte)

2. Wir betrachten IR mit der üblichen Topologie T_{d_{eu}}. Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen einen Grenzwert in 0 ∈ IR haben.

a) f_{1} : (−1, 1) → IR, f_{1}(x) := |x|

b) f_{2} : ZZ → IR, f_{2}(x) := |x|

c) f_{3} : (−1, 1) → IR, f_{3}(x) := \{ \begin{matrix}−1 & , & x ≤ 0 \\ 1 & , & x > 0 \end{matrix}

d) f_{4} : (−1, 1) → IR, f_{4}(x) := \{ \begin{matrix}−1 & , & x ≠ 0 \\ 0 & , & x = 0 \end{matrix}

d) f_{5} : (−1, 1) \ {0} → IR, f_{5}(x) := x

(5 Punkte)

3. (je 3 Punkte)

a) Seien a_{1}, …, a_{k} ∈ IR positive Zahlen, und setzen Sie für n ∈ IN

x_{n} := ^{n} \sqrt{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ⋯ + a_{k}^{n}} .

Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} x_{n} = max(a_{1}, …, a_{k}).

b) Sei {a_{n}}_{n∈IN} eine Folge, und sei lim_{n→∞}(a_{n} − a_{n−1}) = a für ein a ∈ IR. Setzen Sie x_{n} := \frac{a_{n}}{n}. Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} x_{n} = a.

c) Es sei x ∈ IR. Für n ∈ IN sei a_{n} := \frac{x^{n}}{n!} . Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} a_{n} = 0.

d) Sei x_{1} := 1, x_{2} := 6 und weiter x_{n+2} := 5x_{n+1} − x_{n} für n ∈ IN, n ≥ 3. Zeigen Sie, daß die Folge {x_{n}}_{n∈IN} divergiert.

4. (je 3 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Folgen {x_{n}}_{n∈IN} auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a) Sei a_{1} := 1, a_{2} := 1, und weiter a_{n} := a_{n−1} + a_{n−2} für n ∈ IN, n ≥ 3. Setzen Sie x_{n} := \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

b) Sei a ∈ [0, 1]. Setzen Sie x_{1} := 0 und weiter x_{n+1} := \frac{1}{2}(a − x_{n}^{2}) + x_{n} für n ∈ IN, n ≥ 2.

c) Sei \{a_{n}\}_{n∈IN} eine konvergente Folge und sei a := lim_{n→∞} a_{n}. Setzen Sie x_{n} := \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k}.

d) Sei x_{1} := \sqrt{2} und weiter x_{n+1} := \sqrt{2x_{n}} für n ∈ IN, n ≥ 2.

5. Für μ ∈ [0, 4] definieren wir x_{1} := \frac{1}{\sqrt{2}} und weiter x_{n+1} := μx_{n}(1 − x_{n}) für n ∈ IN, n ≥ 2.

a) Zeigen Sie, daß x_{n} ∈ [0, 1] für alle n ∈ IN.

b) Bestimmen Sie numerisch die Häufungspunkte von x_{n} für verschiedene μ und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar.

\underline{Hinweis:} Lassen Sie μ mit genügend feiner Schrittweite (z.B. 1/2000) im Intervall [2, 4] laufen und tragen Sie über jedem μ die Glieder x_{200} bis x_{1000} (bzw. x_{2000} bis x_{3000}) der Folge auf. Vergleichen Sie das Ergebnis. Variieren Sie versuchsweise auch den Wert von x_{1}. (Für diese Aufgabe benötigen Sie einen Computer!)

(4 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 27.11.1997, 12 Uhr