Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 7, WS 1997/98

1. a) Seien (X, T_{X}) ein topologischer und (Y, T_{Y}) ein metrischer Raum sowie f, g : X → Y stetige Abbildungen. Zeigen Sie, daß die Menge

{f = g} := {x ∈ X | f(x) = g(x)}

abgeschlossen ist.

b) Seien (X, T_{X}) ein topologischer Raum und f, g : X → IR stetige Funktionen. Zeigen Sie, daß die Menge

{f < g} := {x ∈ X | f(x) < g(x)} offen

und die Menge

{f ≤ g} := {x ∈ X | f(x) ≤ g(x)} abgeschlossen

ist.

(4 Punkte)

2. Sei {a_{n}}_{n∈IN} eine Folge reeller Zahlen und gelte a_{n} ∈ [−1, 1] für alle n ∈ IN. Wir definieren die Folge \{x_{n}\}_{n∈IN} durch x_{1} := \frac{a_{1}}{2} und weiter x_{n} := x_{n−1} + \frac{a_{n}}{2^{n}}.

a) Zeigen Sie, daß {x_{n}}_{n∈IN} konvergiert und

b) lim_{n→∞} x_{n} ∈ [−1, 1] gilt.

(3 Punkte)

3. Zeigen Sie, daß für jede Funktion p : IR → IR der Form p(x) = ∑_{i=0}^{m} p_{i}x^{i} mit m ungerade und p_{m} ≠ 0 und jedes c ∈ IR die Gleichung p(x) = c mindestens eine Lösung hat.

(4 Punkte)

4. a) Sei f : [0, 1] → [0, 1] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, daß f einen “Fixpunkt” hat, d.h. ein x ∈ [0, 1] mit f(x) = x existiert. (\underline{Hinweis:} Betrachten Sie die Funktion g(x) := x − f(x)).

b) Sei f : [0, 1] → IR stetig mit f(0) = f(1) und sei n ∈ IN. Zeigen Sie, daß ein x ∈ [0, 1] mit

f(x) = f(x + \frac{1}{n})

existiert. (\underline{Hinweis:} Betrachten Sie die Funktion g(x) := f(x) − f(x + \frac{1}{n}) und benutzen Sie ∑_{i=0}^{n−1} g(i/n) = 0).

c) Sei 0 < a < 1 mit a ≠ \frac{1}{n} für alle n ∈ IN. Finden Sie eine stetige Funktion f : [0, 1] → IR mit f(0) = f(1), aber so, daß kein x ∈ [0, 1] mit

f(x) = f(x + a)

existiert.

(8 Punkte)

5. Sei f : (−1, 1) → IR eine stetige Funktion, welche der Bedingung

(∗)  für alle x ∈ (−1, 1) gilt x^{2} + (f(x))^{2} = 1

genügt.

a) Zeigen Sie, daß dann entweder

f(x) = \sqrt{1 − x^{2}} für alle x ∈ (−1, 1)

oder

f(x) = −\sqrt{1 − x^{2}} für alle x ∈ (−1, 1)

gilt. \underline{Hinweis:} Betrachten Sie A := \{x ∈ (−1, 1) | f(0)f(x) > 0\}. Zeigen Sie der Reihe nach:

1) A ≠ ∅.

2) A ist offen.

3) A ist abgeschlossen in (−1, 1).

4) A = (−1, 1).

5) Die Behauptung folgt aus 4).

b) Zeigen Sie, daß es mehr Lösungen f : (−1, 1) → IR von (∗) gibt, wenn man die Voraussetzung, daß f stetig ist, wegläßt.

(6 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 4.12.97, 12 Uhr