Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 9, WS 1997/98

Die 5. Aufgabe ist besonders wichtig!

1. Sei (X, T ) ein kompakter topologischer Raum. Sei weiterhin {F_{i}}_{i∈I} eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X, so daß jeder endliche Durchschnitt F_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ F_{i_{r}} i_{1}, …, i_{r} ∈ I, r ∈ IN, nicht leer ist. Zeigen Sie, daß dann auch ⋂_{i∈I} F_{i} ≠ ∅ gilt.

(3 Punkte)

2. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Sei x_{0} ∈ X. Zeigen Sie, daß X \ {x_{0}} genau dann kompakt ist, wenn x_{0} isolierter Punkt von X (d.h. kein Häufungspunkt von X) ist.

(3 Punkte)

3. Sei (X, T ) ein kompakter topologischer Raum und A ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge. Zeigen Sie, daß dann A auch kompakt ist.

(3 Punkte)

4. Seien (X, T_{X}), (Y, T_{Y}) topologische Räume und A ⊂ X eine kompakte Teilmenge sowie f : X → Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, daß f(A) kompakt ist.

(3 Punkte)

5. Wir betrachten die Menge IR ∪ {+∞, −∞} =: ĪR. Wir definieren TĪR durch

TĪR := { A ∈ P(ĪR) | A ∩ IR offen und

wenn +∞ ∈ A, so existiert M ∈ IR mit (M, +∞) ⊂ A wenn −∞ ∈ A, so existiert M′ ∈ IR mit (−∞, M′) ⊂ A}

Zeigen Sie:

a) TĪR ist eine Topologie

b) IR ist dicht in ĪR c) ĪR ist kompakt

d) ĪN = IN ∪ {+∞}, Z̄Z = ZZ ∪ {+∞, −∞}

e) Sei {X_{n}}_{n∈IN} eine Folge in IR, welche auch als Abbildung X : IN → IR, X(n) := X_{n} betrachtet wird. Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} X_{n} = Y (Konvergenz der Folge) und lim_{n→∞} X(n) = Y (Grenzwert der Funktion) äquivalent sind.

f) Sei (X, T ) ein topologischer Raum, p Häufungspunkt von X und f : X → IR eine Abbildung. Sei f̄: X →^{f} IR ↪ ĪR, wobei IR ↪ ĪR die Inklusion ist. Dann definieren wir

(lim_{x→p} f(x) = ±∞) := (lim_{x→p} f̄(x) = ±∞) .

Sei X := IR, f(x) := x^{n} für n ∈ ZZ. Zeigen Sie, daß

lim_{x→±∞} f(x) = \{ \begin{matrix}1 & , & n = 0 \\ 0 & , & n < 0 \\ +∞ & , & n > 0 gerade \\ ±∞ & , & n > 0 ungerade . \end{matrix}

(12 Punkte)

Abgabe: Donnerstag, 18.12.97, 12 Uhr