Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 1, SS 1998

1) Sei E_{α}, α ∈ {1, 2, ∞}, der Raum IR^{n} mit den Normen

∥x∥_{E_{α}} := \{ \begin{matrix}∑_{i=1}^{n} |x_{i}| & α = 1 \\ \sqrt{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} & α = 2 \\ max_{i=1}^{n} |x_{i}| & α = ∞ \end{matrix} ,

wobei x = (x_{1}, …, x_{n}). Der Vektor a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ IR^{n} definiere ein Element ϕ_{a} ∈ E′_{α} durch

ϕ_{a}(x) := ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} .

Bestimmen Sie ∥ϕ_{a}∥_{E′_{α}} für α ∈ {1, 2, ∞}. (9 Punkte)

2) Sei X ein topologischer Raum und E := C_{b}(X) der Banachraum der beschränkten stetigen Funktionen f : X → C mit der Norm

∥f∥ := sup_{x∈X} |f(x)| .

Sei ein Punkt x ∈ X gegeben. Bestimmen Sie alle ϕ ∈ E′ mit der Eigenschaft

{∀f ∈ E | f(x) = 0 ⇒ ϕ(f) = 0} .

(3 Punkte)

3) Wir betrachten die Banachräume E := C_{b}(IR) und F := C_{b}^{1}(IR) mit den Normen

∥f∥_{E} = sup_{x∈IR} |f(x)|, ∥f∥_{F} = sup_{x∈IR} |f(x)| + sup_{x∈IR} |f′(x)| .

Für a ∈ IR betrachten wir die Abbildungen

δ_{a} : E → IR  δ_{a}(f) := f(a)
δ′_{a} : F → IR  δ′_{a}(f) := −f′(a) .

1. Zeigen Sie, daß die Einschränkung auf F eine stetige Abbildung E′ → F′ definiert.

2. Zeigen Sie, daß δ_{a} ∈ E′ und δ′_{a} ∈ F′ gilt und bestimmen Sie die Normen dieser Linearformen.

3. Untersuchen Sie, in welchem Sinne

lim_{a→b} δ_{a} = δ_{b}

in E′ bzw. F′ gilt.

4. Untersuchen Sie, ob

lim_{a→b} \frac{1}{a − b}(δ_{b} − δ_{a}) = δ′_{b}

in F′ gilt.

(8 Punkte)

4) Sei E := C([0, 1]) mit der Norm ∥f∥ := sup_{x∈[0,1]} |f(x)|. Für g ∈ E betrachten wir die Abbildung

T_{g} : E → IR, T_{g}(f) := ∫_{0}^{1} g(x)f(x)dx .

1. Zeigen Sie, daß T_{g} ∈ E′ und bestimmen Sie ∥T_{g}∥_{E′}.

2. Zeigen Sie, daß durch E ∋ g ↦ T_{g} ∈ E′ eine stetige injektive lineare Abbildung E → E′ definiert wird.

(4 Punkte)

Weitere Aufgaben

1. Seien E und F Banachräume. Überzeugen Sie sich davon, daß B(E, F) ein Vektorraum ist.

2. Sei (E, ∥.∥) ein Banachraum und SE := {x ∈ E | ∥x∥ = 1} die Einheitssphäre, welche als metrischer Raum mit der induzierten Metrik betrachtet wird. Überlegen Sie sich, daß die durch r(ϕ)(x) := ϕ(x), x ∈ SE, ϕ ∈ E′, gegebene lineare Abbildung r : E′ → C_{b}(SE) isometrisch, aber nicht surjektiv ist.

3. Seien (E∥.∥_{E}), (F, ∥.∥_{F}) Banachräume. Überlegen Sie sich, daß durch ∥e ⊕ f∥_{1} := ∥e∥_{E} + ∥f∥_{F} und ∥e ⊕ f∥_{∞} := max{∥e∥_{E}, ∥f∥_{F} } Normen auf E ⊕ F definiert werden, bezüglich derer E ⊕ F ein Banachraum ist. Bestimmen Sie die Normen der identischen Abbildung

id_{E⊕F} : (E ⊕ F, ∥.∥_{1}) → (E ⊕ F, ∥.∥_{∞})
id_{E⊕F} : (E ⊕ F, ∥.∥_{∞}) → (E ⊕ F, ∥.∥_{1}) .

4. Seien E := C([−1, 0]), F := C([0, 1]), G := C([−1, 1]) und H : G → E ⊕ F durch H(f) := f_{|[−1,0]} ⊕ f_{|[0,1]} gegeben. Überzeugen Sie sich, daß H linear, stetig und injektiv ist und bestimmen Sie die Kodimension von H(G) ⊂ E ⊕ F. Hierbei sei auf E ⊕ F eine der in 2. betrachteten Normen fixiert.