Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 2, SS 1998

1)Seien f_{i} : IR^{2} → IR, i ∈ {1, 2}, durch

f_{1}(x, y) = e^{x+y} sin(x − 3y), f_{2}(x, y) = \{ \begin{matrix}0, & (x, y) = 0 \\ \frac{xy^{2}}{x+y^{2}} , & (x, y) ≠ 0 \end{matrix}

gegeben. Für u ∈ IR^{2} definieren wir h_{u} : IR → IR^{2} durch h_{u}(t) = tu. Prüfen Sie, ob die Kompositionen f_{i} ∘ h_{u} : IR → IR im Punkt Null differenzierbar sind. Sei F_{i}(u) := (f_{i} ∘ h_{u})′(0). Ist F_{i} : IR^{2} → IR linear? (8 Punkte)

2) Sei f : IR^{2} → IR gegeben durch

f(x, y) := \{ \begin{matrix}1 & y ∈ (0, x^{2}) \\ 0 & y ∉ (0, x^{2}) \end{matrix} .

1. Zeigen Sie, daß der Grenzwert von f für (x, y) → 0 entlang jeder Geraden durch (0, 0) Null ist.

2. Finden Sie eine Folge {(x_{i}, y_{i})}_{i∈IN} mit lim_{i→∞}(x_{i}, y_{i}) = (0, 0) derart, daß lim_{i→∞} f(x_{i}, y_{i}) = 1.

3. Zeigen Sie, daß f in (0, 0) nicht stetig ist. (4 Punkte)

3) Sei f : IR^{2} → IR gegeben durch

f(x, y) := \{ \begin{matrix}\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} .

1. Zeigen Sie, daß f(x, y) für jedes feste x stetig in y und für jedes feste y stetig in x ist.

2. Zeigen Sie, daß f nicht stetig in (0, 0) ist. (4 Punkte)

4) Sei A eine Banachalgebra mit 1 ∈ A, und seien A, B : IR → A und U : IR → GL(A) ⊂ A differenzierbare Abbildungen. Zeigen Sie, daß dann auch AB : IR → A, AB(t) := A(t)B(t) und U^{−1} : IR → A, U^{−1}(t) := U(t)^{−1} differenzierbar sind und

(AB)′(t) = A′(t)B(t) + A(t)B′(t), (U^{−1})′(t) = −U^{−1}(t)U′(t)U^{−1}(t)

gilt. (8 Punkte)

Weitere Aufgaben

1. Sei X ein topologischer Raum, E, F endlichdimensionale komplexe Banachräume m := dim(E), n := dim(F), und seien {e_{i}}_{i=1}^{m}, {f_{j}}_{j=1}^{n} Basen von E, F. Sei Φ : B(E, F) →^{≅} Mat(n, m) die durch die Basen induzierte Abbildung. Überzeugen Sie sich davon, daß eine Abbildung A : X → B(E, F) genau dann stetig ist, wenn für alle Paare (j, i), j ∈ {1, …, n}, i ∈ {1, …, m} die Abbildung X ∋ x → Φ(A(x))_{j,i} ∈ C stetig ist, wobei M_{j,i} den (j, i)’ten Eintrag der Matrix M ∈ Mat(n, m) bezeichnet.

2. Seien A, B : IR → Mat(2) durch

A(t) := ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} ) , B(t) := ( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} )

gegeben. Bestimmen Sie A′, B′ und verifizieren Sie die Formeln für (AB)′, (A^{−1})′, (B^{−1})′ aus Hausaufgabe 4).

3. Sei f : IR^{2} \ {0} → IR durch

f(x) := \frac{x_{1}^{2} − x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , x = (x_{1}, x_{2})

gegeben. Bestimmen Sie für jedes ξ ∈ IR^{2} den Grenzwert von f für x → 0 entlang der Geraden {tξ | t ∈ IR}. Kann man f stetig auf IR^{2} fortsetzen?