Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 4, SS 1998

1) Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion

f : IR^{2} → IR , f(x, y) := (4x^{2} + y^{2})e^{−x^{2}−4y^{2}} .

(6 Punkte)

2) Zeigen Sie, daß die Funktion f : IR^{2} → IR, f(x, y) := (y − x^{2})(y − 2x^{2}) kein lokales Minimum in 0 ∈ IR^{2} hat, daß sie jedoch entlang jeder Geraden durch 0 ∈ IR^{2} dort ein lokales Minimum besitzt. (6 Punkte)

3) Sei K := [−5, 5]×[−5, 5] ⊂ IR^{2}. Bestimmen Sie Maximum und Minimum von f : K → IR, f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} − 2x. (6 Punkte)

4) Sei λ ∈ C. Versuchen Sie, rotationssymmetrische Lösungen f : IR^{2} → C der Gleichung

Δ(f) = λf durch eine Taylorreihe zu bestimmen. Untersuchen Sie die erhaltenen Reihen auf Konvergenz. (Hinweis : Benutzen Sie Polarkoordinaten und ”Weitere Aufgaben 5.” von Blatt 3). (6 Punkte)

Weitere Aufgaben

1. Wir betrachten eine differenzierbare Funktion f : IR^{n} → IR. Überlegen Sie sich, wie man den Begriff ”Richtung des größten Anstieges” definieren könnte und wie diese mit dem Gradienten grad(f) zusammenhängt.

2. Sei K := [0, 2] × IR ⊂ IR^{2}. Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f : K → IR, f(x, y) := (x − 1)^{2} + 2y^{2} − xy + 4. Beachten Sie, daß K nicht offen ist und Sie die Definition von lokalen Extrema entsprechend modifizieren müssen.

3. Zeigen Sie, daß eine differenzierbare Funktion f : IR^{n} → IR, welche bezüglich jedes Punktes x ∈ IR^{n} rotationssymmetrisch ist, eine konstante Funktion ist.

4. Sei E ein Banachraum, x ∈ E und r ∈ IR, r > 0. Überzeugen Sie sich davon, daß der Ball B(x, r) ⊂ E konvex ist.

Abgabe : Di 19.5. 11.15 Uhr