Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 5, SS 1998

1) Wir definieren die C-wertigen Funktionen z, z̄: IR^{2} → C durch

z(x, y) := x + ıy, z̄:= x − ıy .

Sei weiterhin ¯∂ durch ¯∂:= \frac{∂}{∂x} + i\frac{∂}{∂y} gegeben.

• Kann die Funktion \frac{z}{|z|} : IR^{2} \ 0 → C stetig in Null hinein fortgesetzt werden? (2 Punkte)

• Berechnen Sie für jedes n, m ∈ IN

¯∂z^{n}, ¯∂z̄^{n}, ¯∂z^{n}z̄^{m} .

(3 Punkte)

• Zeigen Sie, daß für ein Polynom f ∈ C[z, z̄] die Gleichung ¯∂f = 0 genau dann erfüllt ist, wenn schon f ∈ C[z] gilt (dabei wird f in der offensichtlichen Weise als Funktion von IR^{2} nach C aufgefaßt). (2 Punkte)

2) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der folgenden Funktionen:

f : IR^{2} → IR,  f(x, y) := 4x^{2} + 5y^{2} − 2xy − 3x − y (3 Punkte)
h : IR^{3} → IR,  h(x, y, z) := 3x^{2} + 6y^{2} − xy − z^{2} − z (3 Punkte)
g : [−1, 1] × [−1, 1] → IR,  g(x, y) := x^{2} + y^{2} (4 Punkte)

3) Seien f, g : IR → IR zweimal stetig differenzierbar. Sei F : IR^{2} → IR durch F (x, y) := f(x + g(y)) definiert. Zeigen Sie, daß

\frac{∂F}{∂x} · \frac{∂^{2}F}{∂x∂y} = \frac{∂F}{∂y} · \frac{∂^{2}F}{∂x^{2}}

gilt. (3 Punkte)

4) Berechnen Sie das Taylorpolynom T_{3}(f) für f : (0, ∞) × IR → IR, f(x, y) := x^{y} im Punkt (1, 1). (4 Punkte)

Weitere Aufgaben

1. Zeigen Sie, daß eine Teilmenge L ⊂ IR^{n}, welche sich lokal als Graph einer differenzierbaren Funktion darstellen läßt, eine reguläre Untermannigfaltigkeit ist.

2. Sei U ⊂ IR^{n} und f : U → IR^{m} stetig differenzierbar. Zeigen Sie, daß die Menge der regulären Punkte von f offen ist.

3. Sei L ⊂ IR^{3} die Teilmenge, die man durch Rotation der Parabel {z = x^{2}} um die z-Achse erhält.

(a) Stellen Sie L als Graph einer Funktion dar. (2 Punkte)

(b) Finden Sie eine definierende Funktion von L. (2 Punkte)

4. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Einschränkung von f : IR^{3} → IR, f(x, y, z) := 3x^{2} + y^{2} + 5z^{2}, auf die Einheitskugel.

Abgabe : Di 19.5. 11.15 Uhr