Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 6, SS 1998

1) Sei Q : IR^{n} → IR eine quadratische Form. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Einschränkung von Q auf die Einheitssphäre. (6 Punkte)

2.a) Für welche c ∈ IR^{2} ist f : IR^{4} → IR^{2}, gegeben durch f(x) := ((x_{1}+x_{2})^{2}, (x_{3}+x_{4})^{3}), x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}), eine definierende Funktion einer regulären Untermannigfaltigkeit L_{c} := {x ∈ IR^{4} | f(x) = c} ⊂ IR^{4}? (3 Punkte)

2.b) Sei S ⊂ IR^{2} die Parabel {y = x^{2}}. Für s ∈ S sei v_{s} ∈ IR^{2} derjenige Einheitsvektor, der orthogonal zum Tangentialraum T_{s}S steht und mit (0, 1) ein positives Skalarprodukt hat. Für welche c ∈ IR ist L_{c} := {s+cv|s ∈ S} ⊂ IR^{2} eine reguläre Untermannigfaltigkeit? (3 Punkte)

3) Sei A eine invertierbare n × n-Matrix, b ∈ IR^{n} und c ∈ IR. Sei h : IR^{n} → IR durch h(x) := x^{t}Ax + b^{t}x + c gegeben. Sei weiterhin v ∈ IR^{n} und f_{v} : IR^{n} → IR durch f_{v}(x) := ⟨v, x⟩ gegeben.

• Bestimmen Sie alle d ∈ IR, für welche h − d : IR^{n} → IR definierende Funktion einer regulären Untermannigfaltigkeit L_{d} := {x ∈ IR^{n} | h(x) = d} ist.

• Sei d ∈ IR so, daß L_{d} eine reguläre Untermannigfaltigkeit ist. Bestimmen sie diejenigen Punkte l ∈ L_{d}, in denen f′_{v}(T_{l}L) = {0} gilt. Welche davon sind lokale Extrema?

4) Sei Ω ⊂ IR^{2} der offene zwischen den Kreisen vom Radius 1 und 2 eingeschlossene Ring. Zeigen Sie, daß es eine stetige Funktion f : Ω → IR gibt, deren Richtungsableitung in Richtung der zweiten Koordinate existiert und verschwindet, die aber dennoch nicht nur von der ersten Koordinate abhängt. Kann es eine solche Funktion auch dann geben, wenn Ω ⊂ IR^{2} eine offene konvexe Teilmenge wäre? (6 Punkte)

Abgabe : Di 9.6. 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

1. kompakte Mengen

2. Stetiges Bild einer kompakten Menge ist kompakt.

3. gleichmäßige Stetigkeit

4. Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig und beschränkt.

5. Träger von Funktionen

6. Konstruktion und Eigenschaften des Riemann-Integrals

7. Stetige Funktionen mit kompakten Träger sind integrierbar.