Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 7, SS 1998

1) In einer Ebene (mit den Koordinaten (x,y)) wird ein Graben endlicher Breite ausgehoben. Das Profil dieses Grabens entlang jeder zur y-Achse parallelen Geraden sei bis auf Verschiebung durch eine konkave Funktion beschrieben. Die Grabensohle folge einer Kurve, die durch eine Funktion f der x-Koordinaten beschrieben werden kann. Zeigen Sie, daß das Volumen des zwischen den Achsen {x = a} und {x = b}, a < b, eingeschlossenen Teils des Grabens nicht von f abhängt. (6 Punkte)

2)

1. Eine euklidische Transformation des IR^{n} ist ein Diffeomorphismus Φ : IR^{n} → IR^{n} der Form Φ(x) = Ax + b, wobei A ∈ O(n) eine orthogonale Matrix und b ∈ IR^{n} ein Vektor ist. Zeigen Sie, daß das Lebesguemaß I invariant unter euklidischen Transformationen ist, d.h. I = I ∘ Φ^{∗} gilt. (4 Punkte)

2. Sei A eine negativ definite symmetrische reelle n × n - Matrix, b ∈ IR^{n} und c ∈ IR.

Berechnen Sie

∫_{IR_{n}} exp(x^{t}Ax + b^{t}x + c)dx .

(Hinweis: Bringen Sie den Integranden durch eine euklidische Transformation auf eine möglichst einfache Form.) (4 Punkte)

3) Bestimmen Sie | det J(Φ)| für Zylinderkoordinaten Φ : (0, ∞) × IR^{2} → IR^{3}, Φ(r, ϕ, z) := (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z). Finden Sie einen Integrationsbereich A so daß ∫_{A}(Φ^{∗}f)(x)| det J(Φ)(x)|dx = ∫_{IR}_{3} f(x)dx für alle f ∈ C_{c}(IR^{3}) gilt. (4 Punkte)

4) Geben Sie einen Beweis für die Richtigkeit der Wahl des Integrationsbereichs in Aufgabe 3). (Idee: Betrachte Teilmengen, auf denen Φ bijektiv ist und verwende Zerlegung der Einheit.) (6 Punkte)

Abgabe : Di 16.6. 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

1. n-dimensionale Polarkoordinaten, | det J(Φ)|.

2. Berechnung des Volumens der n-Kugel.

3. Berechnung von ∫_{IR} exp(−ax^{2})dx, wobei a > 0.