Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 8, SS 1998

1.a) Berechnen Sie das Volumen eines Ellipsoides E in IR^{3}, dessen Hauptachsen die Längen a_{i}, i = 1, 2, 3 haben. Zur Erinnerung: E := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ IR^{3} | (x_{1}/a_{1})^{2} + (x_{2}/a_{2})^{2} + (x_{3}/a_{3})^{2} ≤ 1}. (4 Punkte) 1.b) Seien x_{i}, i = 1, …, n Punkte in IR^{n} und V := {∑_{i=1}^{n} t_{i}x_{i} | t_{i} ∈ [0, 1] ∀i}. Berechnen Sie das Volumen von V. (4 Punkte)

2.a) Zeigen Sie, daß für alle f ∈ C_{c}^{2}(IR) und g ∈ C^{2}(IR) gilt:

∫_{IR}(−\frac{d^{2}}{dx^{2}} f)(x)g(x)dx = ∫_{IR} f(x)(−\frac{d^{2}}{dx^{2}} g)(x)dx .

(3 Punkte) 2.b) Zeigen Sie, daß für alle f ∈ C_{c}^{2}(IR^{n}) und g ∈ C^{2}(IR^{n}) gilt:

∫_{IR_{n}}(Δf)(x)g(x)dx = ∫_{IR_{n}} f(x)(Δg)(x)dx ,

wobei Δ := − ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} der Laplaceoperator ist (diese Eigenschaft des Laplaceoperators ist seine formale Selbstadjungiertheit). (3 Punkte)

3) Berechnen Sie

∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x + 2y)^{2} + 1} \frac{1}{(x − 2y)^{2} + 1}dxdy .

(4 Punkte)

4) Sei C := ∩_{n∈IN}A_{n} die Cantormenge zum Parameter 1/3, wobei die A_{n} ⊂ IR induktiv durch A_{0} := [0, 1], A_{n} := A_{n−1} \ ∪_{p=1}^{(3^{n}−1)/2}(\frac{2p−1}{3^{n}}, \frac{2p}{3^{n}}) definiert werden. Zeigen Sie, daß der Grenzwert

μ_{C}(f) := lim_{n→∞} \frac{1}{vol(A_{n})} ∫_{A_{n}} f(x)dx

für alle f ∈ C_{c}(IR) existiert und ein nichttriviales positives Maß definiert. (6 Punkte)

Abgabe : Di 23.6. 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Volumenberechnung (Rotationskörper etc.)

- Umgang mit der Transformationsformel

- Konvergenzverhalten des Integrals von IR^{n} ∋ x ↦ ∥x∥^{λ} ∈ IR bei 0 und ∞ in Abhängigkeit von λ ∈ IR.