Übungen zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 9, SS 1998

1) Sei L ⊂ IR^{n+1} eine als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion g : U ⊂ IR^{n} → IR gegebene reguläre Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1. Für x ∈ U sei n(x) ∈ IR^{n+1} der zu T_{(x,g(x))}L senkrechtstehende Einheitsvektor mit positiver letzter Koordinate und θ(x) der Winkel zwischen n(x) und der x_{n+1}-Achse. Sei weiterhin K ⊂ U kompakt. Wir definieren den Inhalt F (L_{K}) des über K liegenden Teils L_{K} von L durch

F (L_{K}) := ∫_{K} \frac{1}{cos(θ(x))}dx .

Sei L die obere Halbsphäre der Einheitskugel im IR^{3}. Berechnen Sie den Inhalt des über K := B̄(0, r) liegenden Teils von L. Leiten Sie daraus die Formel für die Kugeloberfłäche der Einheitskugel im IR^{3} ab. (6 Punkte)

2) Sei L ⊂ IR^{2} eine reguläre Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1, welche durch eine Parameterdarstellung L = {(x(t), y(t))|t ∈ V } mit V ⊂ IR und x′(t) ≠ 0, ∀t ∈ V, gegeben ist. Sei K ⊂ V kompakt und L_{K} der durch K parametrisierte Teil von L. Zeigen Sie, daß

F (L_{K}) = ∫_{K} ∥(x′(t), y′(t))∥dt

gilt, wobei die linke Seite wie in 1) definiert wird. Wenden Sie diese Formel an, um die Länge des Einheitskreises im IR^{2} zu berechnen. (6 Punkte)

3) Sei L ⊂ IR^{2} durch L := {(e^{−ct} cos(t), e^{−ct} sin(t)) | t ∈ IR} gegeben (logarithmische Spirale). Zeigen Sie, daß L eine reguläre Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 ist. Berechnen Sie die Länge von L_{K} für K := [0, a] ⊂ IR mit der Formel aus 2) und untersuchen Sie den Grenzwert für a → ∞. (6 Punkte)

4) Sei L ⊂ IR^{3} die reguläre Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1, welche man durch Rotation der Parabel {x_{3} = x_{1}^{2}} um die x_{3}-Achse erhält. Berechnen Sie den Inhalt des über B̄(0, r) ⊂ IR^{2}, r > 0, liegenden Teils von L. (6 Punkte)

Abgabe : Di 30.6. 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Motivation der Definition des Inhalts einer regulären Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1

- Übungen zum Inhalt regulärer Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1

- Übungen zur Bogenlänge von Kurven im IR^{n}