Übungen zur Differential- und Integralrechnung IV

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 2 SS 1999

1) Sei A eine Banachalgebra und a ∈ A nilpotent.

Berechnen Sie das Spektrum von a.

4 Punkte

2) Der Raum C_{b}(IR, C^{2}) wird mit der Norm ∥f∥ = sup_{x∈IR}(|f_{1}(x)|^{2} + |f_{2}(x)|^{2})^{\frac{1}{2}} zu einem Banachraum. Sei

A(x) = ( \begin{matrix}(cos^{2} x)e^{−|x|} + sin^{2} x arctan x & sin x cos x(e^{−|x|} − arctan x) \\ sin x cos x(e^{−|x|} − arctan x) & (sin^{2} x)e^{−|x|} + cos^{2} x arctan x \end{matrix} ) .

Berechnen Sie das Spektrum des beschränkten Operators f ↦ Af auf C_{b}(IR, C^{2}). 4 Punkte

3) Zeigen Sie, daß eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines Banachraums nicht

notwendig kompakt ist.

4 Punkte

4) Berechnen Sie das Spektrum des Translationsoperators

T_{a} : L_{per}^{2}(IR) → L_{per}^{2}(IR)
T_{a}f(x) = f(x − a)

für a ∈ IR. Hierbei sei L_{per}^{2}(IR) der Abschluß von {f ∈ C(IR, C) | f(x) = f(x + k) ∀k ∈ ZZ} unter der Norm ∥f∥_{2} := (∫_{0}^{1} |f(x)|^{2}dx)^{\frac{1}{2}} .

4 Punkte Abgabetermin: Mo. 3.5., um 11 Uhr c.t.

Hinweise für die Übung

- Spektrum und Resolvente