Übungen zur Differential- und Integralrechnung IV

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 3 SS 1999

1) Sei V ein Banachraum und A ∈ B(V). Zeigen Sie:

a) Wenn die Resolvente R_{A} : C − σ(A) → A einen Pol erster Ordnung bei μ ∈ C hat, so ist μ Eigenwert von A.

b) Ist μ ein Pol von R_{A}, so ist

P = \frac{1}{2πi} ∫_{γ_{μ}} R_{A}(λ)dλ

ein Projektor auf den Eigenraum von A zu μ. Integriert wird über einen geschlossenen Weg γ_{μ} um μ. Der Schnitt der von γ_{μ} eingeschlossenen Fläche mit σ(A) enthalte nur μ.

4 Punkte

2) Zeigen Sie:

a) Die Menge

D := {A ∈ Mat(n, C) | A hat n paarweise verschiedene Eigenwerte} ist offen in Mat(n, C) .

b) Sei A ∈ D und λ ein Eigenwert von A. Dann existiert eine Umgebung A ∈ U ⊂ D und eine eindeutig bestimmte stetige Funktion φ : U → C mit φ(A) = λ, deren Funktionswert φ(B) für alle B ∈ U ein Eigenwert von B ist.

c) Es gibt eine stetige Abbildung v : U → C^{n}−{0} mit Bv(B) = φ(B)v(B) für alle B ∈ U.

d) (ohne Wertung) Für n ≥ 2 läßt sich die Funktion φ aus b) nicht auf ganz D fortsetzen. 4 Punkte

3) Sei A eine Banachalgebra. Diskutieren Sie lim_{n→∞} \frac{A^{n}}{∥A^{n}∥} für A ∈ A.

4 Punkte 4) Sei A eine Banachalgebra und A ∈ A. Präzisieren Sie folgende Aussage: Das Spektrum σ(A) hängt ”stetig“ von A ab.

4 Punkte

Abgabetermin: Mo. 10.5., um 11 Uhr c.t.

Hinweise für die Übung

- Spektrum und Resolvente

- holomorpher Funktionenkalkül