Übungen zur Differential- und Integralrechnung IV

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 5 SS 1999

1) Für Operatorfolgen gibt es neben der Normkonvergenz noch andere Konvergenzbegriffe, z.B. den der starken Konvergenz: Eine Folge (A_{n})_{n∈IN} von beschränkten Folgen auf einem Banachraum V konvergiert genau dann stark gegen A ∈ B(V) (in Zeichen: A_{n} ⟶^{s} A), wenn A_{n}x für alle x ∈ V gegen Ax konvergiert.

a) Zeigen Sie, daß der Grenzwert einer stark konvergenten Folge eindeutig ist.

b) Sei V ein separabler Hilbertraum und {e_{i}, i ∈ IN} eine Orthonormalbasis von V. Zeigen Sie, daß die Folge P_{n} := ∑_{i=1}^{n} < e_{i}, · > e_{i} stark gegen die Identität konvergiert.

c) Zeigen Sie, daß T ∈ B(V) genau dann kompakt ist, wenn für jede stark konvergente Folge A_{n} ⟶^{s} A gilt: A_{n}T ist normkonvergent gegen AT.

d) Finden Sie eine stark konvergente Folge A_{n}, A_{n} ⟶^{s} A, von beschränkten Operatoren auf V so daß A_{n}^{∗} nicht stark gegen gegen A^{∗} konvergiert.

e) Zeigen Sie, daß für stark konvergente Folgen A_{n}, B_{n} mit A_{n} ⟶^{s} A, B_{n} ⟶^{s} B, auch

A_{n}B_{n} ⟶^{s} AB gilt.

8 Punkte

2) Sei k_{t}(x, y) = (2πt)^{− \frac{1}{2}} exp(−\frac{(x−y)^{2}}{2t}) für t > 0 und A_{t}f = ∫ k_{t}(x, y)f(y)dy für f ∈ L^{2}(IR).

a) Zeigen Sie, daß A_{t} in B(L^{2}(IR)) für t → ∞ stark, aber nicht bzgl. der Norm gegen die Identität konvergiert.

b) Zeigen Sie : ∥A_{t}∥ ≤ 1.

c) Zeigen Sie, daß A_{t}A_{s} = A_{t+s} ist.

d) Für welchen ’Operator’ B könnte A_{t} = e^{tB} gelten?

e) Berechnen Sie den Integralkern des Operators ∫_{0}^{∞} e^{−λt}A_{t} dt.

f) Auch wenn Sie B in d) nicht gefunden haben, gehen Sie davon aus, daß er existiert und berechnen Sie sein Spektrum. Hinweis: Es gilt ∫_{0}^{∞} e^{−λt}A_{t} dt = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}e^{tB} dt = (λ − B)^{−1}.

12 Punkte Abgabetermin: Montag, 31.5.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- kompakte Operatoren, Greensche Funktionen und Integralkerne