Übungen zur Differential- und Integralrechnung IV

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 6 SS 1999

1) Sei T_{u} ∈ B(L^{2}([0, 1])) definiert als T_{u}(f)(x) = f(ux)χ_{[0,1]}(ux) für u > 0.

a) Berechnen Sie ∥T_{u}∥.

b) Zeigen Sie, daß die Abbildung u ↦ T_{u}f für alle f ∈ L^{2}([0, 1]) stetig ist, die Abbildung u ↦ T_{u} aber nicht.

c) Berechnen Sie den starken Grenzwert von \sqrt{u} T_{u} für u → ∞.

d) Zeigen Sie: T_{u}T_{v} = T_{uv}

e) Berechnen Sie T_{u}^{∗}.

f) Zeigen Sie, daß uT_{u}T_{u}^{∗} ein Projektor ist und uT_{u}^{∗}T_{u} = 1.

g) Finden Sie eine Formel, mit der man eine Lösung f der Gleichung (1 − T_{u})f = g für g ∈ L^{2}([0, 1]) und u > 1 berechnen kann.

7 Punkte

2) Sei V ein unendlichdimensionaler Banachraum. Zeigen Sie, daß jede schwach offene Menge des Banachraumduals V′ einen nichttrivialen Untervektorraum von V′ enthält.

3 Punkte

3) Sei X ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie, daß der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf X, d.h. der μ ∈ C(X)′ mit μ(1) = 1 und μ(f) ≥ 0 für f ≥ 0, kompakt in C(X)′ bzgl. der schwachen Topologie ist.

4 Punkte

4) Sei S_{u} : C([0, 1]) → C([0, 1]), S_{u}f(x) = f(\frac{x}{u}) für u ≥ 1. Zeigen Sie, daß das Bild eines Wahrscheinlichkeitsmaßes (Definition s.3) unter S_{u}^{∗} : C([0, 1])′ → C([0, 1])′ wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, und berechnen Sie für ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ den schwachen Limes von S_{u}^{∗}μ für u → ∞.

4 Punkte

Abgabetermin: Montag, 7.6.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- schwache Topologie versus Normtopologie