Übungen zur Differential- und Integralrechnung IV

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 8 SS 1999

1) Sei A ein normaler Operator mit sup(σ(A) − {r(A)}) < r(A). Berechnen Sie

lim_{n→∞} \frac{A^{n}}{∥A^{n}∥}.

4 Punkte

2) Zeigen Sie, daß für einen normalen Operator A, dessen Spektrum in der Halbebene Re(x) < 0 liegt, und λ mit Re(λ) > 0 gilt:

∫_{0}^{∞}e^{−λx}e^{xA}dx = (λ − A)^{−1}.

4 Punkte

3) Sei U ein unitärer Operator mit σ(U) ≠ S^{1}. Zeigen Sie: Für alle ε > 0 gibt es a_{0}, a_{1}, … a_{n} ∈ C mit

∥U^{−1} − a_{0}I − a_{1}U − … − a_{n}U^{n}∥ < ε.

Bemerkung: In Blatt 4, Aufgabe 3 wurde bewiesen, daß die Bedingung σ(U) ≠ S^{1} notwendig ist: Für σ(U) = S^{1} ist die linke Seite immer größer oder gleich 1.

4 Punkte

4) Berechnen Sie das Spektrum des Operator T_{u} ∈ B(L^{2}(IR)), T_{u}(f)(x) = f(ux) mit u > 0. 4 Punkte

Hinweise für die Übung

- stetiger Kalkül

- Spektralsatz

Abgabetermin: Montag, 21.6.1999, 11.15 Uhr