Übungen zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke Winterferien

1 Grenzwerte von Folgen

1. Finden Sie eine nicht-konvergente Folge {a_{n}}_{n∈IN} reeller Zahlen für welche \{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} a_{i}\}_{n∈IN} konvergiert.

2. Konstruiere eine beschränkte divergente Folge reeller Zahlen {a_{n}}_{n∈IN}, für die {a_{n+1} − a_{n}}_{n∈IN} eine Nullfolge ist.

3. Berechnen Sie den Grenzwert lim_{n→∞} \frac{n−1}{n+1} sin(\frac{π}{4} − \frac{1}{n}).

4. Berechnen Sie den Grenzwert

lim_{n→∞} \sqrt{n} (\sqrt{n + a} − \sqrt{n}) , a > 0 .

5. Berechnen Sie den Grenzwert

lim_{n→∞} \frac{e^{x+n} + 3e^{−x}x^{n}}{e^{n} + x^{n}} , x ∈ IR .

6. Für m ∈ IN, y ∈ Q definieren wir f_{m}(y) := sin(2πm!y). Zeigen Sie, daß lim_{n→∞} f_{m} = 0 punktweise, jedoch nicht in (B(Q), ∥.∥_{∞}).

2 Reihen

1. Für welche a ∈ IR konvergiert die folgende Reihe (absolut?)

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−n)^{n}a^{n}}{(n + 1)^{n+1}} .

2. Für welche a ∈ IR konvergiert die folgende Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{a}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n − 1})} .

3. Konvergiert die Reihe

∑_{n=3}^{∞}(−1)^{n}(log log n)^{− log n} ?

4. Für welche a ∈ IR konvergiert die folgende Reihe

∑_{n=1}^{∞} a^{\sqrt{n}} .

5. Für welche a ∈ IR und k ∈ IN konvergiert die Reihe

∑_{n∈ZZ}(|n| + 1)^{a}ϕ_{n}

in C_{per}^{k}(IR) absolut, wobei ϕ_{n}(x) = e^{2πınx}.

6. Sei {a_{k}}_{k∈IN} eine Folge reeller Zahlen und ϕ : IN → IN eine Bijektion so daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = 1 und ∑_{n=1}^{∞} a_{ϕ(n)} = 2. Zeigen Sie, daß es dann eine Bijektion ψ : IN → IN gibt, so daß ∑_{n=1}^{∞} a_{ψ(n)} = 3.

7. Zeigen Sie, daß die Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{x}{(1 + x^{2})^{n}}

für jedes x ∈ [0, 1] absolut, aber in [0, 1] nicht gleichmäßig konvergent ist.

8. Zeigen Sie, daß die die Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{x + n}

in [0, 1] gleichmäßig, aber für kein x ∈ [0, 1] absolut konvergent ist.

3 Grenzwerte von Abbildungen

1. Sei f : C \ \{0\} → C durch f(z) = \frac{z}{|z|} gegeben. Untersuchen Sie lim_{z→0} f(z).

2. Seien f_{i} : IR \ \{0\} → IR durch f_{1}(z) = arctg(\frac{1}{x}) und f_{2}(z) = arctg(\frac{1}{|x|}) gegeben. Untersuchen Sie lim_{x→0} f_{i}(x).

3. Berechnen Sie

lim_{x→0} (e^{x} + x)^{1/x} .

4. Berechnen Sie

lim_{x→0} \frac{e^{x} + x − 1}{x} .

5. Berechnen Sie

lim_{x→∞} x (\frac{π}{2} − arctan x) .

6. Entscheiden Sie, ob der folgende Grenzwert existiert, und bestimmen Sie ihn gegebe-

nenfalls.

lim_{x↑ \frac{π}{4}} \frac{tan x − 1}{arcsin(tan x) − \frac{π}{2}}

7. Entscheiden Sie, ob der folgende Grenzwert existiert, und bestimmen Sie ihn gegebe-

nenfalls.

lim_{x→0} (\frac{x}{e^{x} − x − 1} − \frac{2}{x})

4 Eigenschaften stetiger Funktionen

1. f sei in [0, 1] streng monoton wachsend und es gelte f([0, 1]) = [f(0), f(1)]. Beweisen Sie, daß f stetig ist.

2. Seien a, b ∈ IR, a < b. f : [a, b] → IR heiße konvex, falls für alle c, d ∈ [a, b] und t ∈ [0, 1] die Ungleichung f(tc + (1 − t)d) ≤ tf(c) + (1 − t)f(d) besteht. Zeigen Sie, daß konvexe Funktionen stetig sind.

3. Zeigen Sie, daß die abgeschlossene Einheitskugel in C([0, 1]) nicht kompakt ist.

4. Zeigen Sie, daß der Teilraum aller Funktionen in C([0, 1]), welche im Punkt 1/2 verschwinden, abgeschlossen ist. Wie groß ist seine Kodimension? Geben sie ein Komplement and.

5. Finden Sie alle stetigen Funktionen f : IR → IR, welche der Gleichung f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y ∈ IR genügen.

6. Zeigen Sie, daß es keine stetige surjektive Abbildung f : [0, 1] → IR geben kann. Geben Sie eine stetige Bijektion h : (0, 1) → IR an, die eine stetige Umkehrabbildung hat.

5 Differentialrechnung

1. Seien a, b ∈ IR, a < b und f : (a, b) → IR zweimal differenzierbar. Sei x ∈ (a, b) und f′(x) = 0 sowie f^{(2)}(x) ≠ 0. Zeigen Sie, daß f in x ein lokales Extremum hat.

2. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f : IR → IR f(x) := x^{n}e^{(−x^{2})}.

3. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f : IR → IR f(x) := \sqrt{x^{4} − 4x^{3} + 5x^{2}}.

4. Für eine reelle Zahl x bezeichne {x} den Abstand von x zur nächsten ganzen Zahl. Zeigen Sie,daß die Reihe

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{\{10^{n}x\}}{10^{n}}, x ∈ (0, 1)

eine stetige und nirgends differenzierbare Funktion definiert.

5. Zeigen Sie, daß die Reihe

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} sin(nx^{2})e^{−nx}, x ∈ (0, ∞)

eine differenzierbare Funktion definiert.

6. Sei ψ : IN → Q ∩ [0, 1] eine Bijektion. Untersuchen Sie, an welchen Stellen

f(x) := ∑_{{n|ψ(n)<x}} 2^{−n}

wohldefiniert, stetig, bzw. differenzierbar ist. Berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung.

7. Sei f : IR → IR differenzierbar und erfülle f ∘ f = f. Zeigen Sie, daß dann entweder f = id_{IR} oder f konstant ist.

8. Sei P (x) ein Polynom vom Grad n. Zeigen Sie, daß die Gleichung e^{x} = P (x) höchstens n + 1 reelle Lösungen haben kann.

6 Integralrechnung

1. Finden Sie Stammfunktionen von

(1) e^{ax} cos bx
(2) log(1 + x^{4})dx
(3) \frac{sin x}{1 + tan x}
(4) \frac{1}{sin^{2}(x) + sin^{3}(x) cos^{−1}(x)}
(5) \frac{1}{\sqrt{(ax + b)(cx + d)}}
(6) cos log x
(7) (log x)^{3}
(8) \frac{1}{ax^{2} + bx + c}
(9) sin^{n}(x) cos(x)

Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.

(1)  ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{sin \sqrt{x}}
(2)  ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{cosh x}
(3)  ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} − 1}}
(4)  ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − 1}}

2. Sei f ∈ C_{b}(IR). Berechnen Sie

lim_{a→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{\sqrt{a}f(x)}{1 + ax^{2}}dx .

3. Sei f : [0, 1] → IR integrierbar. Zeigen Sie, daß

lim_{r→∞} ∫_{0}^{1} f(x) sin(rx)dx = 0 .

4. Berechnen Sie

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} n^{2}x^{n−1}(1 − x)dx

und

∫_{0}^{1} lim_{n→∞} n^{2}x^{n−1}(1 − x)dx .

5. Zeigen Sie, daß sich die Funktion x ↦ ln(a + x) auf (−a, a) durch ihre Taylorreihe darstellen läßt.

6. Es sei f : [0, 1] → IR stetig und es gelte f(x) > 0 für alle x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie die

Ungleichung

(∫_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} dx) (∫_{0}^{1} f(x) dx) ≥ 1 .

7. Es seien f, g : [0, 1] → IR stetig. Zeigen Sie, daß für jedes a > 0 die Ungleichung

∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx ≤ \frac{a}{2} ∫_{0}^{1} f(x)^{2}dx + \frac{1}{2a} ∫_{0}^{1} g(x)^{2}dx

gilt.

8. Sei f : [0, 1] → IR stetig. Zeigen Sie, daß

∫_{0}^{1} |f(x)|dx = 0

f = 0 impliziert.

9. Sei f : [0, 1] → IR stetig und es gelte

∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx = 0

für alle stetigen g : [0, 1] → IR. Zeigen Sie, daß dann f = 0 sein muß.