1. Klausur zur Differential– und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

1. Sei A := {1, 2, 3, 4, 5}. Welche der folgenden Teilmengen von A × A ist eine funktionale Relation? Geben Sie an, ob die durch die funktionalen Relationen definierten Abbildungen von A nach A injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

a) U := {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} (1 Punkt)

b) v := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)} (1 Punkt)

c) W := {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)} (1 Punkt)

2. Welche der folgenden Teilmengen von IR sind von unten beschränkt. Berechnen Sie gegebenenfalls das Infimum.

a) A := {x ∈ IR | (3 − x)^{5} < 11} (1 Punkt)

b) B := {log_{5} x | x ∈ (0, 1)} (1 Punkt)

c) C := \{−(3^{r}) | r < \sqrt{2}\} (1 Punkt)

3. Finden Sie alle x ∈ IR, welche der Ungleichung

|(x − 2)^{2} − 2| − 1 ≤ 0

genügen. (2 Punkte)

4. Sei (X, d) ein metrischer Raum und E ⊂ X eine Teilmenge. Zeigen Sie, daß ein Punkt x ∈ X \ E Häufungspunkt von E genau dann ist, wenn d(X, E) = 0. (2 Punkte)

5. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir definieren e : (X × X) × (X × X) → IR durch e((x, y), (x′, y′)) := max{d(x, x′), d(y, y′)}. Zeigen Sie:

a) e ist ein Abstand auf X × X (2 Punkte)

b) d : X × X → IR ist stetig (2 Punkte)

c) Δ := {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X} ⊂ X × X ist abgeschlossen. (1 Punkt)

6. Berechnen sie die folgenden Grenzwerte (Begründung)

a) lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{m=2}^{n} ^{m} \sqrt{5} (2 Punkte)

b) lim_{n→∞} \frac{∑_{k=0}^{m} a_{k}n^{k}}{∑_{k=0}^{l} b_{k}n^{k}}, wobei m ≤ l, a_{k}, b_{k} ∈ IR und b_{l} ≠ 0. (2 Punkte)

7. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (Begründung).

a) lim_{x→1} f(x) für f : IR \ \{+1\} → IR, f(x) = \frac{x^{n}−1}{x^{m}−1}, wobei n, m ∈ IN. (2 Punkte)

b) lim_{x→0} f(x) für f : IR \ \{0, −b\} → IR, f(x) : \frac{1}{x}(\frac{1}{b+x} − \frac{1}{b}), wobei b ∈ IR \ \{0\} .(2 Punkte)

8. a) Seien a < b relle Zahlen und f : [a, b] → IR eine stetige Funktion. Zeigen Sie, daß es eine stetige Funktion F : IR → IR mit F |_{[a,b]}= f gibt. (2 Punkte)

b) zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, daß nicht jede stetige Funktion f : (a, b) → IR eine stetige Ausdehnung F : IR → IR mit F |_{(a,b)}= f hat. (2 Punkte)