Klausur zur Differential- und Integralrechnung I

Prof. Dr. U. Bunke

WS 1997/98

Aufgabe 1) Sei f : [0, 1] → [0, 1] stetig, f_{|(0,1)} differenzierbar und f′(x) ≠ 1 für alle x ∈ (0, 1). Zeigen Sie, daß es dann genau ein x ∈ [0, 1] mit f(x) = x gibt.

4 Punkte

Aufgabe 2) Zeigen Sie für die Funktion f : IR → IR,

f(x) := \{ \begin{matrix}x^{2} sin(\frac{1}{x}) & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0 \end{matrix}

daß

a) f differenzierbar ist

b) f′ in 0 nicht stetig ist.

4 Punkte

Aufgabe 3) Zeigen Sie, daß es eine differenzierbare Funktion f : IR → IR gibt, welche der Gleichung f^{5}(x) + f(x) + x = 0 für alle x ∈ IR genügt.

3 Punkte

Aufgabe 4) Sei f : [0, 1] → IR, f(x) := x − x^{2}. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert ein ξ ∈ [0, 1] mit f(ξ) = ∫_{0}^{1} f(x)dx. Bestimmen Sie eine solche Zahl.

2 Punkte

Aufgabe 5) Seien f : IR → IR, g : IR → IR durch f(x) := x^{2} und g(x) := \frac{x^{2}}{2} + 2 gegeben. Bestimmen Sie die Fläche von A := {(x, y) ∈ IR^{2}|g(x) ≥ y ≥ f(x)}.

4 Punkte Aufgabe 6) Sei f : [−1, 1] → IR stetig. Zeigen Sie, daß h : [−1, 1] → IR, h(x) := xf(x^{2}) (Riemann) integrierbar ist und

∫_{−1}^{1} h(x)dx = 0

gilt. 3 Punkte Aufgabe 7) Für welche r ∈ IR konvergiert

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} r^{n}}{n 5^{n}}?

4 Punkte

Aufgabe 8) Bestimmen Sie die Ableitungen von a) f(x) := arctg (ln x), x > 0

b) f(x) := x^{(x^{2})}, x > 0 (Der Rechenweg muß erkennbar sein.)

4 Punkte

Aufgabe 9) Berechnen Sie die folgenden Integrale.

a)

∫_{0}^{1} xe^{−x}dx

b)

∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − \frac{x^{2}}{2}}} dx

(Der Rechenweg muß erkennbar sein.

4 Punkte + Zusatzpunkt