Klausur zur Differential- und Integralrechnung III

1) Die folgenden Formen und Vektorfelder sind auf IR^{3} definiert.

(i) Sei α = 3x_{1}dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{2} ∧ dx_{3} und β = x_{1}dx_{1} + dx_{2} + dx_{3}. Berechne α ∧ β.

(ii) Sei X = x_{1}∂_{1} und f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{2} sin x_{1}. Berechne X(f).

(iii) Sei f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}e^{x_{2}}. Berechne df.

(iv) Berechne i_{∂_{2}}(dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{2} ∧ dx_{3} + dx_{3} ∧ dx_{1}).

(v) Sei ψ : IR^{2} → IR^{3}, ψ(x, y) = (x − 1, y^{2}, 0). Berechne ψ^{∗}(x_{1}dx_{1}), ψ^{∗}(dx_{1} ∧ dx_{2}) und ψ^{∗}(dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}).

2) Wo ist der Fehler?

(i) Die Menge {x_{1} = 0} ∪ {x_{2} = 0}, versehen mit der von IR^{2} induzierten Topologie und den Karten φ_{1} : {x_{2} = 0} → IR, (x_{1}, 0) ↦ x_{1} und φ_{2} : {x_{1} = 0} → IR, (0, x_{2}) ↦ x_{2}, ist eine Mannigfaltigkeit.

(ii) Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit. Jede 1-Form auf M ist exakt.

Beweis: Sei ω eine beliebige 1-Form auf M. Wähle eine endliche Überdeckung von M mit offenen, sternförmigen Mengen U_{i}, i = 1...m. Nach dem Poincar’elemma gibt es eine Funktion f : U_{1} → IR mit ω|_{U_{1}} = df. Induktiv wird diese Funktion auf ganz M ausgedehnt: Sei f auf V_{i} := U_{1} ∪ ... ∪ U_{i} definiert und es gelte df|_{V_{i}} = ω|_{V_{i}}. Auf U_{i+1} gibt es eine Funktion g : U_{i+1} → IR mit g|_{U_{i+1}} = ω_{U_{i+1}}. Diese ist bis auf eine Konstante bestimmt. Die Konstante wird so festgelegt, daß die Funktionen f und g an einem Punkt von U_{i+1} ∩ V_{i} übereinstimmen. Denn stimmen sie auf ganz U_{i+1} ∩ V_{i} überein und f kann mit g auf V_{i} ∪ U_{i+1} fortgesetzt werden.

(iii) Sei f ∈ C^{∞}(IR^{2}) eine Funktion mit kompaktem Träger. Dann verschwindet ∫_{IR}_{2} fvol_{IR}^{2}.

Beweis: Die Funktion φ : IR^{2} → IR^{2}, φ(x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, x_{1}) ist ein Diffeomorphismus. Nach der Transformationsformel gilt;

∫_{IR_{2}} fvol_{IR}^{2} = ∫_{IR_{2}} φ^{∗}(fvol_{IR}^{2})

Nun ist aber φ^{∗}f(x_{1}, x_{2})dx_{1} ∧dx_{2} = f(x_{2}, x_{1})dx_{2} ∧dx_{1} = −f(x_{2}, x_{1})dx_{1} ∧dx_{2} und daher

∫_{IR_{2}} φ^{∗}(fvol_{IR}^{2}) = − ∫_{IR_{2}} f(x_{2}, x_{1})dx_{1} ∧ dx_{2}

= − ∫_{IR_{2}} f(x_{2}, x_{1})dx_{1}dx_{2}
= − ∫_{IR_{2}} f(x_{1}, x_{2})dx_{1}dx_{2}
= − ∫_{IR_{2}} fvol_{IR}^{2}

Insgesamt gilt also

∫_{IR_{2}} fvol_{IR}^{2} = − ∫_{IR_{2}} fvol_{IR}^{2}

und damit ∫_{IR}_{2} fvol_{IR}^{2} = 0.

3) Sei M eine Mannigfaltigkeit. Gib eine Konstruktion an für

– ein Vektorfeld auf M, das nicht überall verschwindet,

– eine 1-Form auf M, die nicht überall verschwindet.

4) Auf IR^{2} sei die Äquivalenzrelation ∼ definiert als (x_{1}, x_{2}) ∼ (x_{1} + z, x_{2}) für alle z ∈ ZZ.

Der Zylinder Z sei der Quotient IR^{2}/∼ versehen mit der Quotiententopologie.

(i) Nimm an, daß die Topologie von Z Hausdorff und metrisierbar ist und konstruiere einen Atlas, mit dem Z zu einer glatten Mannigfaltigkeit wird.

(ii) Zeige, daß Z orientierbar ist.

(iii) Zeige, daß die Form dx_{1} eine Form auf dem Zylinder induziert, die geschlossen, aber nicht exakt ist.

(iv) Finde eine Abbildung p : Z → S^{1}, so daß Z ⟶^{p} S^{1} ein triviales Vektorbündel mit Faser IR ist.

5) Sei M eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand Zeige mit Hilfe des Satzes von Stokes, daß für zwei Formen α ∈ Λ^{i}(T^{∗}M), β ∈ Λ^{j}(T^{∗}M) mit i + j = n − 1 gilt:

∫_{M} dα ∧ β = (−1)^{i+1} ∫_{M} α ∧ dβ

6) Sei f : IR^{2} → IR, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}^{2}cos(πx_{2}) und C = {(x_{1}, x^{2}) | x_{1}^{2} + 2x_{2} = 0, 0 ≤ x_{1} ≤ 2}. C ist eine eindimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Wähle eine Orientierung auf C und wende den Satz von Stokes an, um

∫_{C} df

zu berechnen.

7) Welche der folgenden Abbildungen, die auf ganz IR × IR^{2} definiert sind, sind Flüsse von Vektorfeldern auf IR^{2}? Bestimme gegebenenfalls das entsprechende Vektorfeld.

(i) Φ_{t}(x, y) = (xe^{t}, 0) (ii) Φ_{t}(x, y) = (x + 5t^{2}, ye^{t}) (iii) Φ_{t}(x, y) = (x + 5t, ye^{t})