Klausuraufgaben zur Differential- und Integralrechnung II

Prof. Dr. U. Bunke SS 1998

1. Berechnen Sie die Richtungsableitung von

f : ℝ^{3} → ℝ^{2}, f(x, y, z) := (2xy, x^{2} − z^{2})

im Punkt (1, 1, 1) in die Richtung (1, 2, 3). (3 Punkte)

2. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von

f : ℝ^{3} → ℝ, f(x, y, z) := \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1} + \frac{1}{4}y^{2}.

(3 Punkte)

3. Zeigen Sie, daß f : ℝ^{4} → ℝ^{2}, f(x, y, z, u) := (x + 2y, z + 3u + u^{2}) im Punkt

0 = (0, 0, 0, 0) regulär ist. Geben Sie eine Basis des Tangentialraumes T_{0}L an, wobei

L := {f = 0} ∩ B(0, ε),

(ε > 0 genügend klein) ist. (3 Punkte)

4. Seien a, b, c > 0 und

L := \{\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\} ⊂ ℝ^{3}.

Finden Sie diejenigen Punkte l ∈ L, in denen die Einschränkung von f : ℝ^{3} → ℝ, f(x, y, z) := y^{2} auf L potentiell ein Extremum besitzt, also T_{l}L ⊂ ker f′(l) gilt.

(4 Punkte)

5. Die Wand eines Gefäßes sei die Fläche, die durch Rotation der Kurve {z = x^{4}} um die z-Achse entsteht. Wieviel Wasser muß eingefüllt werden, um es bis zur Höhe r > 0 zu füllen? (3 Punkte)

6. Berechnen Sie

∫_{ℝ^{3}} \frac{1}{(x + y)^{2} + 1}e^{−(y−z)^{2}} \frac{1}{z^{2} + 1}dxdydz .

(4 Punkte)

7. Berechnen Sie die Bogenlänge desjenigen Teils der Kurve {y = x^{2}} ⊂ ℝ^{2}, der die Punkte (x_{0}, y_{0}) = (0, 0), (x_{1}, y_{1}) = (r, r^{2}) verbindet. (4 Punkte)