Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Klausurvorbereitungsblatt WS 1998/99

• Nenne Beispiele für

- Mannigfaltigkeiten + Atlanten,

- Karten von S^{1} bzw. S^{2} (Welche davon bilden zusammen einen Atlas?),

- eine Form auf S^{1}, die geschlossen und nicht exakt ist,

- nichttriviale Vektorbündel,

- Faserbündel, die keine Vektorbündel sind.

• Welche Bedingungen sind zu prüfen, um die Stetigkeit bzw. Differentierbarkeit einer Funktion zwischen zwei Mannigfaltigkeiten festzustellen?

• Nenne verschiedene Definitionen des Tangentialraums (einer Mannigfaltigkeit bzw. regulären Untermannigfaltigkeit).

• Sei M eine Mannigfaltigkeit. Für jede Karte (U, φ) aus dem Atlas von M sei ein Vektorfeld ^{φ}X auf φ(U) gegeben. Welche Bedingung an die ^{φ}X ist notwendig und hinreichend dafür, daß die ^{φ}X die Darstellung in Karten eines Vektorfeldes X auf M sind?

• i) Seien φ_{1} : S^{2} − {N} → IR^{2}, N = (0, 0, 1), und φ_{2} : S^{2} − {−N} → IR^{2} die stereographischen Projektionen. Zeige: Es gibt, für a, b ∈ IR beliebig, ein Vektorfeld X, das bezüglich φ_{1} die Darstellung

(ax_{1} − bx_{2})∂_{1} + (bx_{1} + ax_{2})∂_{2}

und bezüglich φ_{2} die Darstellung

(−ax_{1} − bx_{2})∂_{1} + (bx_{1} − ax_{2})∂_{2}

hat.

(ii) Bestimme alle Integralkurven des Vektorfeldes X auf S^{2}.

• Bestimme die maximalen Integralkurven des Vektorfeldes X(x) = x_{1}^{2}∂_{1} + x_{2}^{3}∂_{2} auf IR^{2}.

• Bestimme alle Integralkurven γ des Vektorfeldes X(x) = \sqrt{|x|} auf IR mit γ(0) = 0. Was ist hier los?

• Erfinde zwei Vektorfelder X, Y auf IR^{2} und berechne L_{X}Y. Verfahre ebenso mit einem Vektorfeld X und einer Form ω.

• Zeige, daß für das Produkt M × N zweier Mannigfaltigkeiten M und N mit den Projektionen p_{M} : M × N → M und p_{N} : M × N → N gilt:

Λ^{k}(T^{∗}(M × N)) ≅ ⨁_{i+j=k} p_{M}^{∗}Λ^{i}(T^{∗}M) ⊗ p_{N}^{∗}Λ^{j}(T^{∗}N).

• Zeige, daß Λ^{2n}T^{∗}IRP^{2n} nicht trivial ist. (Benutze, daß IRP^{2n} nicht orientierbar ist).

• Finde eine nirgends verschwindende 2-Form auf dem 2-Torus und folgere, daß er orientierbar ist. Zeige, daß es eine solche Form auf dem Möbiusband nicht gibt.

• Die Abbildungen f, g, h : IR^{3} → IR seien durch f(x, y, z) = exp(x) cos(y) , g(x, y, z) = x^{2} + y^{2}z^{2} , h(x, y, z) = y sin(z) gegeben. Berechne df ∧ dg und df ∧ dg ∧ dh.

• Auf IR^{4} seien die Differentialformen ω = 2dx_{1} ∧ dx_{2} + 3dx_{3} ∧ dx_{4} , σ = 4dx_{1} + 5dx_{2} + 6dx_{3} + 7dx_{4} gegeben. Berechne: ω ∧ σ, σ ∧ ω, ω ∧ ω, σ ∧ σ, ω ∧ (ω ∧ σ), σ ∧ (σ ∧ ω), ω ∧ (ω + σ).

• Berechne

d[ψ^{∗}((x_{1}^{3} − e^{x_{2}})dx_{2} ∧ dx_{3} + (x_{3}^{3} + x_{3}cosx_{2})dx_{1} ∧ dx_{2} + (sinx_{2} − x_{2}^{3})dx_{1} ∧ dx_{3}],

wobei ψ(r, φ, θ) die durch die Kugelkoordinaten gegebene Abbildung sei.

• Löse die Differentialgleichung

\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} + ycos(x)}{4y^{3} − sin(x)}

mit der Anfangsbedingung y(0) = 1.

• Zeige, daß für die Form

ω = (xyz + yz)dx + xzdy + xydz

gilt: ω ∧ dω = 0. Zeige, daß es eine nur von x abhängige Funktion f gibt, so daß fω exakt ist. Bemerkung: Allgemein kann man beweisen: Es gilt genau dann ω ∧ dω = 0, wenn ein sogenannter integrierender Faktor f existiert, d.h. eine Funktion f, so daß fω exakt ist.

• Sei ω = (x + y)dx + (2x − y)dy. Berechne ∫_{C} i^{∗}ω. Dabei sei C der Bogen der Funktion y = x^{3} von (−2, −8) bis (1, 1), und i : C → IR^{2} die Inklusion.

• Gegeben sei das Vektorfeld X(x) = (−x^{2}y, xy, z) und die obere Halbsphäre S = {(x, y, z) | x^{2}+ y^{2} + z^{2} = 1, z ≤ 0}. Berechne mit Hilfe des Satzes von Stokes

∫_{S} < rotX, N > vol_{S}.

(Wähle eine Orientierung von S.)

Dieser Zettel soll nicht abgegeben, sondern in der Übung besprochen werden.