Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 1 WS 1998/99

1 a) Nenne drei Beispiele für eine Kategorie C mit Ob(C) = IN.

b) Nenne bis auf Isomorphie alle Kategorien mit 3 Objekten und 3 oder 4 Morphismen sowie zwei Kategorien mit 3 Objekten und 6 Morphismen.

c) Sei C folgende Kategorie:

\xymatrix{• \ar[r] \ar[rr] \ar[r] & • \ar[r] & •}

Die Punkte sind die Objekte und die Pfeile die Morphismen. Der Übersichtlichkeit halber wurden die Pfeile, die die Identitäten repräsentieren, weggelassen.

Finde einen Funktor von C in die Kategorie Vekt_{IR}. Dieser soll keinen Morphismus auf die Nullabbildung schicken.

d) Prüfe, ob folgende Zeichnung eine Kategorie definiert:

\xymatrix{• \ar[r] & • \ar[l] \ar[l]}

8 Punkte

2 a) Die Objekte von S seien alle Mengen und für X, Y ∈ Ob(S) sei

Hom_{S}(X, Y) := {Untermengen von X × Y }.

Definiere eine Komposition Hom_{S}(X, Y) × Hom_{S}(Y, Z) → Hom_{S}(X, Z), mit der S zu einer Kategorie wird.

b) Finde einen Funktor von der Kategorie Set nach S, der die Objekte bijektiv aufeinander abbildet.

4 Punkte

3) Einer teilweise geordneten Menge I wird folgendermaßen eine Kategorie C(I) zugeordnet : Die Objekte seien die Elemente von I. Die Morphismenmenge Hom(i, j) von i, j ∈ I enthalte genau ein Element, wenn i ≤ j gilt, und sei sonst leer.

Zeige, daß dies wirklich eine Kategorie definiert und finde für zwei teilweise geordnete Mengen I_{1}, I_{2} alle Funktoren C(I_{1}) → C(I_{2}).

4 Punkte

4) Die Kategorien Diff und Lin werden folgendermaßen definiert: Sei Ob(Diff) = {IR^{k}, k ∈ IN}, und Hom_{Diff}(IR^{n}, IR^{m}) sei die Menge der differenzierbaren Abbildungen von IR^{n} nach IR^{m}. Sei Ob(Lin) = {IR^{k}, k ∈ IN}, und Hom_{Lin}(IR^{n}, IR^{m}) sei die Menge der linearen Abbildungen von IR^{n} nach IR^{m}. Zeige, daß die Abbildung

F : Diff → Lin
F (IR^{n}) = IR^{n}
F (f) = f′(0)

kein Funktor ist. Wie können die Morphismenmengen von Diff so modifiziert werden, daß F zu einem Funktor wird?

4 Punkte

5 a) Zeige: Ein topologischer Raum X ist genau dann Hausdorff, wenn die Diagonale in X × X abgeschlossen ist.

b) Auf IR^{2} wird folgende Topologie definiert: Offen seien alle Mengen, deren Komplement endlich ist.

Zeige, daß IR^{2} mit dieser Topologie kompakt und nicht Hausdorff ist.

4 Punkte

Abgabetermin: Montag, den 19.10.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- reguläre Punkte

- reguläre Untermannigfaltigkeiten: definierende Funktionen, lokale Darstellung als Graph - parametrisierte Kurven