Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 10 WS 1998/99

1i) Berechne f^{∗}α und df^{∗}α für α = x_{3}dx_{1} ∧ dx_{2} − x_{2}dx_{1} ∧ dx_{3} und f(x) = Ax + b mit

A = diag(4, 2, 3) und b = (0, 0, 1). (ii) Berechne die Formen x_{3}dx_{1} ∧dx_{2} −x_{2}dx_{1} ∧dx_{3} und dx_{1} ∧dx_{2} ∧dx_{3} in Kugelkoordinaten.

6 Punkte

2) Zeige, daß IRIP^{n} für ungerades n orientierbar ist und für gerades n nicht.

Dazu kann man z.B. zunächst folgende Schritte zeigen: Sei π : S^{n} → IP^{n} die Projektion. Eine Form α ∈ C^{∞}(IP^{n}, Λ^{n}T^{∗}IP^{n}) hat genau dann eine Nullstelle, wenn π^{∗}α eine Nullstelle hat. Für gegebenes β ∈ C^{∞}(S^{n}, Λ^{n}T^{∗}S^{n}) gibt es genau dann ein α ∈ C^{∞}(IP^{n}, Λ^{n}T^{∗}IP^{n}) mit β = π^{∗}α, wenn β = f vol_{S^{n}} ist, wobei f : S^{n} → IR der Bedingung f(x) = f(−x)(−1)^{n−1} genügt.

6 Punkte

3) Sei A ein orientierter Atlas einer zweidimensionalen, orientierbaren, regulären Untermannigfaltigkeit M von IR^{3}. Jedem Punkt x ∈ M wird ein Vektor

n(x) := \frac{∂_{1}φ^{−1}(φ(x)) × ∂_{2}φ^{−1}(φ(x))}{∥∂_{1}φ^{−1}(φ(x)) × ∂_{2}φ^{−1}(φ(x))∥}

zugeordnet – hierbei sei (U, φ) ∈ A eine Karte um x. Zeige, daß n(x) nicht von der Wahl der Karte abhängt und N : M → T IR^{3}, x ↦ (x, n(x)) ein Schnitt in das Normalenbündel von M ist. Folgere daraus, daß gilt

(φ^{−1})^{∗}vol_{M} = ∥∂_{1}φ^{−1}∥ ∥∂_{2}φ^{−1}∥ sin θ vol_{U},

wenn θ(y) der Winkel zwischen ∂_{1}φ^{−1}(y) und ∂_{2}φ^{−1}(y) ist.

6 Punkte 4) Sei i_{t} : IR^{n} → IR^{n} × I die Inklusion x ↦ (x, t).

(i) Sei ω ∈ C^{∞}(IR^{n} × I, Λ^{n}T^{∗}(IR^{n} × I)) eine geschlossene Form.

Zeige, daß dα = i_{1}^{∗}ω − i_{0}^{∗}ω gilt für

α = ∫_{0}^{1} i_{t}^{∗}i_{∂_{t}}ω

(ii) Wende (i) und den Satz von Stokes an, um zu zeigen, daß für zwei homotope Abbildungen f, g : IR^{n} → IR^{n}, die außerhalb von B_{1}(0) verschwinden, und eine Form ω ∈ C^{∞}(IR^{n}, Λ^{n}T^{∗}IR^{n}) gilt

∫_{B_{R}(0)} f^{∗}ω = ∫_{B_{R}(0)} g^{∗}ω für R > 1.

Erklärung der verwendeten Begriffe:

Eine Form ω heißt geschlossen, wenn dω = 0. Eine Form ω = dα heißt exakt.

Zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y zwischen topologischen Räumen heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung F : X × I → Y gibt mit F |_{X×{0}} = f und F |_{X×{1}} = g. In unserem Fall soll F auch glatt sein.

zum Integral in (i): Eine von t abhängige n-Form auf IR^{n} läßt sich schreiben als f(x, t) vol_{IR}^{n}. Dann sei

∫_{0}^{1}(f(x, t) vol_{IR}^{n}) := (∫_{0}^{1} f(x, t)dt) vol_{IR}^{n}

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 4.1.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Orientierte Mannigfaltigkeiten

- Integration von Formen