Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 11 WS 1998/99

1) Integriere mit Hilfe des Satzes von Stokes die Formen (i) α = (x^{2} + y^{2} + 1)^{−1}(xdx + ydy), (ii) α = \frac{1}{2}(−ydx + xdy) über die Ellipse

E = \{x ∈ IR^{2} | \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\},

d.h. berechne ∫_{E} i^{∗}α.

6 Punkte

2) Integriere die unter π : IR^{3} − \{0\} → S^{2}, π(x) = \frac{x}{∥x∥} zurückgezogene Form π^{∗} vol_{S^{2}} über die Einheitssphäre S_{x} um einen Punkt x ∈ IR^{3} mit ∥x∥ ≠ 1. Unterscheide dabei, ob der Ursprung im Inneren dieser Sphäre liegt oder nicht.

6 Punkte

3) Sei A ein Vektorfeld auf IR^{3}. Zeige:

(i) Es ist genau dann div A = 0, wenn es ein Vektorfeld B auf IR^{3} gibt mit A = rot B. (ii) Es gilt genau dann rot A = 0, wenn es eine Funktion f : IR^{3} → IR gibt mit

A = grad f. Sei

A(x) = \frac{1}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})} ( \begin{matrix}x_{2} \\ −x_{1} \\ 0 \end{matrix} )

Zeige, daß rot A = 0 ist, A sich aber nicht als Gradient einer Funktion schreiben läßt. Wieso ist dies kein Widerspruch zu (ii)?

6 Punkte 4) Sei h eine meromorphe Funktion auf C, deren Residuen Elemente in ZZ sind. Zeige, daß

es dann eine wohldefinierte Funktion f : C − {Polstellen von h} → C gibt mit

\frac{df}{f} = hdz.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 11.1.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Satz von Stokes