Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 13 WS 1998/99

1) Sei R : IR^{mn+1} → IR^{n} eine glatte Funktion. Zeige, daß es genau eine maximale Lösung

f :]a, b[→ IR^{n} der Differentialgleichung

f^{(m)}(t) = R(t, f(t), f^{(1)}(t), ..., f^{(m−1)}(t))

mit der Anfangsbedingung f^{(i)}(0) = y_{i} ∈ IR^{n}, i = 0, ..., m − 1 gibt.

6 Punkte

2) Seien ω, ε ∈ IR. Finde die Integralkurven des Vektorfeldes

X(x) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −ω^{2} & −ε \end{matrix} ) x.

6 Punkte

3) Löse die Differentialgleichung

\frac{dy}{dx} = \frac{3 − 4xy^{2}}{4x^{2}y + 6y}

mit der Anfangsbedingung y(1) = 1. Hinweis: Nutze aus, daß die Form (3 − 4xy^{2})dx − (4x^{2}y + 6y)dy exakt ist.

6 Punkte

4) Seien f, g : IR^{2} → IR glatte homogene Funktionen vom Grad k. Gib ein Verfahren an, mit dem eine Lösung der Differentialgleichung

\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}

mit der Anfangsbedingung y(0) = y_{0} ≠ 0 gefunden werden kann. Es gelte g(0, y_{0}) ≠ 0. Hinweis: Nutze aus, daß die Form h(fdx − gdy) mit h(x, y) = \frac{1}{xf(x,y)−yg(x,y)} dort, wo sie definiert ist, geschlossen ist.

6 Punkte Abgabetermin: Montag, 25.1.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Differentialgleichungen