Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 14 WS 1998/99

1) Sei A ∈ Mat(n, n). Der Tensor ω ∈ T_{2}^{0}T IR^{n} sei definiert als

ω_{x}(v, w) = v^{T} Aw,

wobei die Tangentialvektoren v, w ∈ T_{x}IR^{n} als Vektoren in IR^{n} aufgefaßt werden. Zeige, daß ω genau dann eine symplektische Form ist, wenn A schiefsymmetrisch ist und detA ≠ 0.

6 Punkte

2) (Drehimpulserhaltung)

Der Raum T^{∗}IR^{3} sei mit der symplektischen Form ω = dx_{1} ∧ dp_{1} + dx_{2} ∧ dp_{2} + dx_{3} ∧ dp_{3} und der Hamiltonfunktion H(x, p) = f(x_{1}, x_{2}^{2} + x_{3}^{2}, p_{1}, p_{2}^{2} + p_{3}^{2}) ausgestattet, wobei f : IR^{4} → IR eine glatte Funktion sei.

Zeige, daß

L_{1} : T^{∗}IR^{3} → IR,
(x, p) ↦ x_{2}p_{3} − x_{3}p_{2}

eine Erhaltungsgröße von (T^{∗}IR^{3}, ω, H) ist. Berechne die zugehörige Symmetrie und ihren Fluß.

6 Punkte

3) (Mathematisches Pendel im Schwerefeld)

Sei θ die kanonische Einsform auf T^{∗}S^{1} und ω = −dθ die induzierte symplektische Form. Fasse T^{∗}S^{1} als Untermannigfaltigkeit von T^{∗}IR^{2} auf und definiere als Hamiltonfunktion H(x, p) = \frac{|p|^{2}}{2m} + mgx_{2}.

Zeige, daß sich die in Polarkoordinaten folgendermaßen definierte Abbildung

T^{∗}S^{1} − T_{(1,0)}^{∗}S^{1} → IR,
(φ, p_{φ}) ↦ p_{φ} φ ∈]0, 2π[

auf ganz T^{∗}S^{1} fortsetzen läßt und daß die Fortsetzung genau dann Erhaltungsgröße von H ist, wenn mg = 0 gilt. Stelle die Differentialgleichung auf, die die Bahn eines Teilchens in dem durch H bestimmten physikalischen System beschreibt.

6 Punkte

4) Überlege Dir, daß die Form dx_{1} ∧ dx_{2} eine Form auf dem Torus T^{2} und das Vektorfeld ∂_{1} ein Vektorfeld auf T^{2} induzieren.

(i) Berechne den Fluß zu ∂_{1} auf T^{2}. Sei H : T^{2} → IR, H(x_{1}, x_{2}) = sin(2πx_{2}) eine Hamilton-Funktion auf der symplektischen Mannigfaltigkeit (T^{2}, dx_{1} ∧ dx_{2}). (ii) Zeige, daß ∂_{1} eine Symmetrie zu (T^{2}, ω, H) ist. (iii) Zeige, daß der Symmetrie ∂_{1} keine Erhaltungsgröße entspricht.

6 Punkte

Abgabetermin: Freitag !!!, 5.2.1999, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- symplektische Mannigfaltigkeiten