Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 2 WS 1998/99

1) Welche der folgenden Mengen sind reguläre Untermannigfaltigkeiten? Begründe!

a) offene Mengen in IR^{n}

b) \overline{B_{1}(0)} ⊂ IR^{2}

c) L_{c} := {(x, y) | x^{2} − y^{2} = c} ⊂ IR^{2} mit c ∈ IR

d) GL(n) ⊂ IR^{n^{2}}

e) SL(n) ⊂ IR^{n^{2}}

Tip: An der Stelle A mit detA ≠ 0 gilt d_{X}det(A) = det(A)T r(XA^{−1}) für X ∈ Mat(n, n).

f) O(n) ⊂ IR^{n^{2}}

Tip: Identifiziere den Raum der symmetrischen n × n -Matrizen S(n) mit IR^{(n^{2}+n)/2} und konstruiere eine Abbildung f : Mat(n, n) → S(n), die als definierende Abbildung von O(n) dient.

Für die Regularität muß gezeigt werden: Für eine invertierbare Matrix A und eine symmetrische Matrix B gibt es immer eine Matrix X mit B = XA^{T} + AX^{T}.

12 Punkte

2) Sei U eine offene und zusammenhängende Teilmenge des IR^{n}. Zeige: Eine Abbildung f : U → IR^{n} ist genau dann affin, wenn es um jeden Punkt x ∈ U eine offene Umgebung gibt, auf der sie affin ist. 4 Punkte

3) Auf Y = [0, 1] ∪ [2, 3] sei durch x ∼ x + 2 für x ∈]0, 1] eine Äquivalenzrelation definiert. Der Raum Y sei mit der von IR induzierten Topologie versehen. Ist X = Y/ ∼ mit der Quotiententopologie ein Hausdorffraum? (Betrachte z.B. Grenzwerte von Folgen). 4 Punkte

4) Sei X ein topologischer Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Der Quotientenraum X/∼ sei mit der Quotiententopologie ausgestattet. Sei Y ein topologischer Raum und p : X → Y eine stetige Abbildung. Zeige, daß die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:

- Es gilt p(x) = p(y) für x ∼ y, und jede stetige Abbildung f : X → Z in einen topologischen Raum Z mit x ∼ x′ ⇒ f(x) = f(x′) faktorisiert eindeutig über Y, d.h. es gibt eine eindeutige stetige Abbildung \overline{f} : Y → Z, so daß folgendes Diagramm kommutiert:

[figure: X; p; f; Y; \overline{f}; Z.]

- Es gibt einen Homöomorphismus h : Y → X/∼, so daß folgendes Diagramm kommutiert – dabei sei π : X → X/∼ die Projektion:

[figure: X; π; p; X/∼; h^{−1}; Y; h]

Bemerkung: Die erste Aussage wird universelle Eigenschaft des Quotientenraums genannt. Sie kann auf Unterkategorien von Set verallgemeinert werden, indem ”topologischer Raum“ durch ”Objekt“ und ”stetige Abbildung“ durch ”Morphismus“ ersetzt wird. Damit können also in diesen Kategorien Quotienten bis auf Isomorphie charakterisiert werden. Die Existenz eines solchen Objektes X/∼, das die universelle Eigenschaft erfüllt, muß allerdings in jeder Kategorie erst gezeigt werden.

4 Punkte

Abgabetermin: Montag, 26.10.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- reguläre Punkte

- reguläre Untermannigfaltigkeiten: definierende Funktionen, lokale Darstellung als Graph - parametrisierte Kurven