Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 3 WS 1998/99

1) Sei M eine reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{n}. Zeige, daß ihr Tangentialbündel T M := {(x, v) ∈ IR^{n} × IR^{n}| x ∈ M, v ∈ T_{x}M} eine reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{2n} ist.

6 Punkte

2) Durch x ∼ −x ist auf S^{n} eine Äquivalenzrelation definiert. Konstruiere einen C^{∞}- Atlas, mit dem der Quotientenraum S^{n}/∼ zu einer Mannigfaltigkeit wird. Finde einen Homöomorphismus f : S^{n}/∼→ IP^{n} und prüfe nach, ob für Karten (U, φ) ∈ A(S^{n}/∼) und (V, ψ) ∈ A(IP^{n}) die Komposition ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : φ(U ∩ f^{−1}(V)) → ψ(f(U) ∩ V) differenzierbar ist.

6 Punkte

3) Gib einen C^{∞}- Atlas für das Möbiusband an. Dieses ist definiert als der Quotientenraum von IR × IR mit der Äquivalenzrelation (x, y) ∼ (x + n, (−1)^{n}y) für n ∈ ZZ.

6 Punkte

4) Eine symmetrische Matrix A ∈ S(4), ein Vektor b ∈ IR^{4} und c ∈ IR definieren eine Quadrik Q_{A,b,c} = {x ∈ IR^{4} : x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0}.

Welche dieser Quadriken lassen sich als Schnitte einer Hyperebene mit dem Kegel K = {x ∈ IR^{5} : x_{5}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}} darstellen; d.h. für welche A, b, c gibt es eine affine Injektion i : IR^{4} → IR^{5}, so daß i(Q_{A,b,c}) = K ∩ i(IR^{4}) gilt?

Wann ist i(Q_{A,b,c}) eine reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{5}?

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 2.11. 1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Mannigfaltigkeiten und Atlanten