Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 4 WS 1998/99

1) Zeige, daß der offene 1. Quadrant {(x, y) ∈ IR^{2} | x > 0, y > 0} diffeomorph zur offenen

oberen Halbebene {(x, y) ∈ IR^{2} | y > 0} ist.

6 Punkte

2) Zeige, daß der n-dimensionale Torus T^{n} in der Kategorie der C^{∞}-Mannigfaltigkeiten der Quotient von IR^{n} unter der Äquivalenzrelation x ∼ x + a für a ∈ ZZ^{n} ist. (Prüfe dazu die universelle Eigenschaft des Quotienten aus Blatt 2, Aufgabe 4 nach.)

6 Punkte

3) Zeige, daß der Torus T^{n} mit der Multiplikation T^{n} × T^{n} → T^{n}, ([x], [y]) ↦ [x + y] eine

Gruppe ist und daß die Multiplikation glatt ist.

6 Punkte

4) Sei M eine reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{n+1} der Kodimension 1. Dann ist das orthogonale Komplement des Tangentialraums T_{p}M ⊂ IR^{n+1} von p ∈ M eine Gerade in IR^{n+1}. Es definiert also ein Element im projektiven Raum IP^{n}. Zeige, daß die Gaußabbildung

f : M → IP^{n}
p ↦ T_{p}M^{⊥}

glatt ist.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 9.11.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten: Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Glattheit...

- Gruppen als Mannigfaltigkeiten und Gruppenoperationen