Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 5 WS 1998/99

1) Sei M eine reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{n}. Zeige, daß

a) das Normalenbündel NM := {(x, v) ∈ IR^{n} × IR^{n} | v ∈ T_{x}M^{⊥}}

b) das Sphärenbündel des Tangentialbündels S(T M) := {(x, v) ∈ IR^{n} × IR^{n} | v ∈ T_{x}M, ∥v∥ = 1}

reguläre Untermannigfaltigkeiten von IR^{2n} sind und daß NM ⟶^{pr_{1}} M und S(T M) ⟶^{pr_{1}} M Faserbündel sind. Dabei sei pr_{1} die Projektion auf die erste Komponente.

6 Punkte

2) Sei M eine reguläre Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 von IR^{n+1}. Zeige, daß es einen Bündelmorphismus des Normalenbündels (s. 1a)) von M in das tautologische Bündel über IP^{n} gibt, so daß die Abbildung zwischen den Basisräumen die Gaußabbildung (s. Blatt 4, Aufgabe 4) ist.

6 Punkte

3a) Sei IR^{2}/∼ das Möbiusband aus Blatt 3, Aufgabe 3. Die Äquivalenzrelation wurde dort definiert als (x, y) ∼ (x + n, (−1)^{n}y) für n ∈ ZZ.

Sei p : IR^{2}/∼→ IR/ZZ die Projektion auf die erste Komponente. Zeige, daß IR^{2}/∼⟶^{p} IR/ZZ ein Vektorbündel ist.

b) Sei E der Totalraum des tautologischen Bündels über IP^{1}. Zeige, daß die Abbildung

g : IR^{2}/∼ → E
[(x, λ)] ↦ (r\binom{cos πx}{sin πx}, \binom{λ cos πx}{λ sin πx})

ein Bündelisomorphismus zwischen dem Möbiusband als Bündel über IR/ZZ und dem tautologischen Bündel über IP^{1} ist.

6 Punkte 4a) Zeige, daß ein Vektorbündel mit eindimensionaler Faser genau dann trivial ist, wenn es

einen Schnitt gibt, der nirgends verschwindet.

b) Zeige, daß das Möbiusband als Vektorbündel über IR/ZZ nicht trivial ist.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 16.11.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Bündel und Bündelmorphismen

- Tangentialbündel und Tangentialabbildung

- zusammenhängende Summe