Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 6 WS 1998/99

1) Prüfe die Jacobiidentität nach, die besagt, daß für drei Vektorfelder X, Y, Z einer glatten Mannigfaltigkeit gilt:

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

6 Punkte

2) Sei M eine n − k - dimensionale, kompakte reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{n}. Zeige, daß das Normalenbündel von M trivial ist, wenn zur Definition von M eine einzige definierende Funktion f : U → IR^{k} reicht, d.h. es gelte M ⊂ U und M = f^{−1}(0).

Zusatzaufgabe (ohne Wertung): Beweis der Rückrichtung.

Mögliche Beweisschritte: Man bette eine Umgebung des Nullschnittes des Normalenbündels nach IR^{n} ein, so daß der Nullschnitt auf M geht – dies liefert eine Umgebung U von M in IR^{n}. Schnitte des zum Normalenbündel dualen Bündels definieren Abbildungen U → IR, die auf M verschwinden. Mit ihnen kann eine definierende Funktion auf U konstruiert werden, indem ausgenutzt wird, daß mit dem Normalenbündel auch sein duales Bündel trivial ist.

6 Punkte

3) Sei A eine symmetrische (n + 1) × (n + 1)-Matrix.

Berechne die kritischen Punkte folgender Funktion:

IP^{n} → IR
IRv ↦ \frac{< Av, v >}{∥v∥^{2}}

6 Punkte 4) Sei e ∈ GL(n) die Einheitsmatrix. Jedes Element g ∈ GL(n) definiert einen Diffeomor-

phismus L_{g} : GL(n) → GL(n), h ↦ gh. Jedem Tangentialvektor X ∈ T_{e}GL(n) kann ein Vektorfeld X̃ auf GL(n) zugeordnet werden:

X̃(g) := L′_{g}(e)X ∈ T_{g}GL(n)

Seien A, B ∈ T_{e}GL(n). Faßt man GL(n) als reguläre Untermannigfaltigkeit von M(n, n) ≅ IR^{n^{2}} auf, so gilt T_{e}GL(n) = M(n, n). Berechne [Ã, B̃](e) ∈ M(n, n).

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 23.11.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Vektorfelder

- Tensoren, alternierende Formen …