Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 7 WS 1998/99

1) Seien X_{1}, X_{2}, X_{3} : S^{3} → IR^{4} × IR^{4} folgende Abbildungen:

X_{1}(x) := (x, (−x_{2}, x_{1}, −x_{4}, x_{3}))
X_{2}(x) := (x, (x_{3}, −x_{4}, −x_{1}, x_{2}))
X_{3}(x) := (x, (−x_{4}, −x_{3}, x_{2}, x_{1}))

Zeige, daß X_{1}, X_{2}, X_{3} Vektorfelder auf S^{3}, aufgefaßt als reguläre Untermannigfaltigkeit von IR^{4}, sind und daß für ihre Kommutatoren gilt:

[X_{1}, X_{2}] = 2X_{3}, [X_{2}, X_{3}] = 2X_{1}, [X_{3}, X_{1}] = 2X_{2}

Zeige außerdem, daß die Vektorfelder an jedem Punkt x ∈ S^{3} eine Orthonormalbasis von T_{x}S^{3} bilden und folgere daraus, daß T S^{3} ein triviales Vektorbündel ist.

6 Punkte

2) Zeige, daß IR ⟶^{π} S^{1} ⊂ C mit π(t) = e^{it} ein nichttriviales Faserbündel mit Faser ZZ (mit der diskreten Topologie) ist.

6 Punkte

3) Sei IR^{+} := IR ∪ {∞} die Einpunktkompaktifizierung von IR, deren Topologie folgendermaßen definiert ist: Teilmengen, die den Punkt ∞ nicht enthalten, sind genau dann offen, wenn sie in IR offen sind. Teilmengen, die den Punkt ∞ enthalten, sind genau dann offen, wenn ihr Komplement in IR kompakt ist.

Zeige, daß IR^{+} mit den Karten

φ_{1} : IR^{+} − {∞} → IR
x ↦ x,
φ_{2} : IR^{+} − {0} → IR
x ↦ \frac{1}{x} mit \frac{1}{∞} := 0

zu einer glatten Mannigfaltigkeit wird, und daß jede gebrochenrationale Funktion f auf folgende Weise zu einer glatten Abbildung f^{+} : IR^{+} → IR^{+} fortgesetzt werden kann: Den Polen von f wird der Wert ∞ zugeordnet und f^{+}(∞) := lim_{x→+∞} f(x) gesetzt, falls der Grenzwert existiert. Sonst sei f^{+}(∞) := ∞.

Finde einen Diffeomorphismus IR^{+} → IRIP^{1}.

Erinnerung: Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion der Form f = \frac{g}{h}, wobei g, h Polynome sind.

6 Punkte

4) Sei R_{i}(t) ∈ SO(3) die Drehung um die i-te Achse mit Winkel t ∈ IR. Für jedes x ∈ IR^{3} ist γ_{i,x} : t ↦ R_{i}(t)x eine Kurve durch x, die einen Tangentialvektor γ′_{i,x}(0)∂_{t} ∈ T_{x}IR^{3} definiert.

Berechne die Komponenten und Kommutatoren der Vektorfelder

X_{i} : IR^{3} → T IR^{3}, x ↦ γ′_{i,x}(0)∂_{t}

Identifiziere dafür T IR^{3} mit IR^{6}.

Berechne außerdem die Ableitung T_{i} := \frac{d}{dt}R_{i}(0) ∈ M(3, 3) der Funktion R_{i} : IR → SO(3) ⊂ M(3, 3), t ↦ R_{i}(t) und prüfe nach, daß für den Wert [X_{i}, X_{j}](x) des Vektorfeldes [X_{i}, X_{j}] an der Stelle x ∈ IR^{3} gilt:

[X_{i}, X_{j}](x) = (T_{j}T_{i} − T_{i}T_{j})x.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 30.11.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Vektorfelder

- Tensoren, alternierende Formen …

Achtung: Dieser Zettel wird mit der Klausur verrechnet!