Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 8 WS 1998/99

1) Berechne L_{X}ω für das Vektorfeld X ∈ C^{∞}(IR^{2}, T IR^{2}), X(x, y) := x∂_{x} + y∂_{y} und die

Form ω ∈ C^{∞}(IR^{2}, T^{∗}IR^{2}), ω(x, y) := xdy − ydx.

6 Punkte

2) Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, a ∈ M. Zeige, daß es für α ∈ T_{a}^{∗}M ein ω ∈

C^{∞}(M, T^{∗}M) gibt mit ω(a) = α.

6 Punkte

3) Sei C^{+} = C ∪ ∞ die Einpunktkompaktifizierung von C. Diese wird mit den Karten

φ_{1} : C^{+} − {∞} → C
z ↦ z,
φ_{2} : C^{+} − {0} → C
z ↦ \frac{1}{z} mit \frac{1}{∞} := 0

zu einer glatten Mannigfaltigkeit. Zeige, daß die Form ω ∈ C^{∞}(C, T^{∗}C), ω(z) := \frac{\overline{z}dz}{1+|z|^{4}} zu einer glatten Form auf C^{+} fortgesetzt werden kann. Berechne dω. 6 Punkte

4i) Sei A ∈ C^{∞}(IR^{n}, T_{2}^{1}IR^{n}). Die Abbildung

∇^{A} : C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) × C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) → C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n})
∇_{Y}^{A}X := ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{n} Y^{i}∂_{i}X^{j})∂_{j} + A(X, Y)

wird die kovariante Ableitung von X in Richtung von Y genannt. Sei T (X, Y) := ∇_{X}^{A}Y − ∇_{Y}^{A}X − [X, Y]. Zeige, daß T ein Element von C^{∞}(IR^{n}, T_{2}^{1}IR^{n}) ist.

(ii) Die kovariante Ableitung kann auch für Formen definiert werden – z.B. für Einsformen auf folgende Weise:

∇^{A} : C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) × C^{∞}(IR^{n}, T^{∗}IR^{n}) → C^{∞}(IR^{n}, T^{∗}IR^{n})
∇_{Y}^{A}ω(X) := Y (ω(X)) − ω(∇_{Y}^{A}X)

Zeige, daß ∇_{Y}^{A}ω wirklich in C^{∞}(IR^{n}, T^{∗}IR^{n}) liegt.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 7.12.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Tensorfelder

- Lieableitung

- äußere Ableitung