Übungen zur Differential- und Integralrechnung III

Prof. Dr. U. Bunke

Blatt 9 WS 1998/99

1) Rechne explizit nach, daß L_{X}ω = di_{X}ω + i_{X}dω gilt für

a) das Vektorfeld

X = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})∂_{1} + x_{2}^{3}∂_{2} ∈ C^{∞}(IR^{2}, T IR^{2})

und die Form

ω = x_{2}dx^{1} ∧ dx^{2} ∈ C^{∞}(IR^{2}, Λ^{2}T^{∗}M),

b) das Vektorfeld

X = ∂_{1} ∈ C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n})

und die Form

ω = df mit f ∈ C^{∞}(IR^{n}).

4 Punkte

2) Zeige, daß für die Form

ω = \frac{1}{x_{2}x_{3}} dx^{1} + \frac{1}{x_{1}x_{3}} dx^{2} + \frac{1}{x_{1}x_{2}} dx^{3},

die für x_{i} ≠ 0 definiert ist, gilt: dω ≠ 0 und ω ∧ dω = 0.

2 Punkte

3i) Sei i : S^{1} → IR^{2} die Inklusion. Integriere die Form i^{∗}α mit α = x_{1}dx^{2} − x_{2}dx^{1} über S^{1}. (ii) Zeige, daß es keine Funktion f ∈ C^{∞}(S^{1}) gibt mit df = i^{∗}α.

6 Punkte

4) Sei N ∈ C^{∞}(S^{2}, T IR^{3}) das Vektorfeld der zu S^{2} senkrechten, nach außen zeigenden Einheitsvektoren, d.h. N(x) = (x, x). Sei i : S^{2} → IR^{3} die Inklusion. Berechne i^{∗}i_{N}dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3} in den Koordinaten, die durch die stereographische Projektion an (1, 0, 0) gegeben sind.

Das Inverse der stereographischen Projektion hat die Form

φ^{−1} : IR^{2} → S^{2}
x ↦ (\frac{∥x∥^{2} − 1}{∥x∥^{2} + 1}, \frac{2x_{1}}{∥x∥^{2} + 1}, \frac{2x_{2}}{∥x∥^{2} + 1}).

6 Punkte

5) Sei A ∈ C^{∞}(IR^{n}, T_{2}^{1}IR^{n}) und ∇^{A} die kovariante Ableitung zu A. Diese war auf dem letzten Übungsblatt definiert worden als

∇^{A} : C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) × C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) → C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n})

∇_{Y}^{A}X := ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{n} Y^{i}∂_{i}X^{j})∂_{j} + A(X, Y)

Zeige, daß die Abbildung

R : C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) × C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) × C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n}) → C^{∞}(IR^{n}, T IR^{n})

(X, Y, Z) ↦ ∇_{X}^{A}(∇_{Y}^{A}Z) − ∇_{Y}^{A}(∇_{X}^{A}Z) − ∇_{[X,Y]}^{A}Z

ein Element aus C^{∞}(IR^{n}, T_{3}^{1}T IR^{n}) ist.

6 Punkte

Abgabetermin: Montag, 14.12.1998, 11.15 Uhr

Hinweise für die Übung

- Lieableitung

- äußere Ableitung

- Integration