Zusammenfassung

Differential- und Integralrechnung I WS97/98, U. Bunke

1 Mengen und Abbildungen

1. Relationen, Elemente, Mengen, Mengenoperationen (Durchschnitt, Vereinigung, Produkt, etc.)

2. Abbildungen (injektive, surjektive, bijektive, Umkehr-, Komposition von)

3. Mächtigkeit, endliche, abzählbare, überabzählbare Mengen

2 Reelle Zahlen

1. Gruppe, Körper, Ordnung

2. (natürliche, ganze, rationale) Zahlen

3. Axiome der reellen Zahlen

4. Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen (x^{2} ≥ 0, Schwarzsche Ungleichung)

5. Folgerungen aus dem archimedischen Axiom (1/n und 2^{−n} wird durch geeignete Wahl von n ∈ IN beliebig klein.)

6. Folgerungen aus dem Intervallschachtelungsaxiom (Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar.)

7. obere und untere Schranken, Supremumseigenschaft

8. sup und inf.)

9. sup_{x∈X}f(x) und inf_{x∈X}f(x)

10. x^{r} für x > 0 und r ∈ IR.

11. Rechnen mit dem Absolutbetrag.

3 Metrische und topologische Grundbegriffe

1. Abstand, metrischer Raum (wichtige Beispiele sind IR^{n} mit d_{p}, p = 1, 2, ∞)

2. Abstand zwischen Abbildung mit Werten in einem metrischen Raum (d_{∞})

3. Abstand zwischen Teilmengen, Durchmesser

4. offene Teilmengen eines metrischen Raumes

5. Die Menge der offenen Teilmengen eines metrischen Raumes ist eine Topologie.

6. topologischer Raum, (offene) Umgebung,

7. konvergente Folgen in metrischen und topologischen Räumen, Teilfolgen

8. Häufungspunkte von Folgen

9. Im metrischen Raum kann eine Folge höchstens einen Grenzwert haben.

10. isometrische Abbildungen

11. stetige Abbildung

12. Wenn f : X → Y stetig in x ∈ X und lim_{n→∞} x_{n} = x, so auch lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x).

13. ϵ − δ-Kriterium für Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen

14. Komposition stetiger Abbildungen ist stetig.

15. Inklusion, induzierter Abstand, induzierte Topologie

16. Stetigkeit der Körperoperationen

17. Stetigkeit von IR^{n}-wertigen Abbildungen 18. Stetigkeit von Funktionen (Summe von Funktionen, Produkt von Funk-

tionen, Potenzfunktion)

19. Häufungspunkte

20. Grenzwerte von Abbildungen

21. Berechnung von Grenzwerten mittels Folgen

22. Zusammenhang zwischen Stetigkeit von Abbildungen und Vertauschbarkeit von Abbildungen mit Grenzwerten

23. abgeschlossene Hülle, Rechenregeln dafür

24. abgeschlossene Menge

25. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

26. zusammenhängende Mengen, getrennte Mengen

27. Zusammenhängende Teilmengen von IR sind Intervalle.

28. Stetige Bilder zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend.

29. Zwischenwertsatz

30. Streng monotone stetige Funktionen haben stetige Umkehrfunktionen.

31. Logarithmus log_{x}, x > 0

32. Limes superior, Limes inferior

33. Cauchyfolgen in metrischen Räumen

34. Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.

35. Vollständigkeit metrischer Räume

36. IR^{n} is vollständig.

37. Abgeschlossene Teilmengen vollständiger metrischer Räume sind vollständig.

38. dichte Teilmengen metrischer Räume

39. Jeder metrische Raum besitzt eine bis auf Isomorphie eindeutige Vervollständigung.

40. kompakte topologische Räume, kompakte Teilmengen

41. Jede Folge in einem kompakten topologischen Raum hat einen Häufungspunkt.

42. Jede stetige IR-wertige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum ist beschränkt und nimmt ihr Supremum und Infimum an.

43. Stetige Bilder kompakter Räume sind kompakt.

44. total-beschränkter metrischer Raum

45. Für einen metrischen Raum sind Kompaktheit, Vollständigkeit+Totalbeschränktheit sowie die Existenz eines Häufungspunktes für jede Folge äquivalent.

46. relativ kompakte Teilmengen

47. In IR^{n} gilt: relativ kompakt ist zu beschränkt äquivalent und abgeschlossen + beschränkt ist zu kompakt äquivalent (Sätze von Heine-Borel und Bolzano-Weierstraß).

48. gleichmäßig stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen

49. Eine stetige Abbildung auf einem kompakten Raum ist gleichmäßig stetig

50. Norm, normierter Raum

51. Norm definiert Abstand

52. Banachraum

53. ∥.∥_{∞}.

54. (B(X, E), ∥.∥_{∞}) ist Banachraum, wobei (E, ∥.∥) Banachaum und X Menge.

55. (C_{b}(X, E), ∥.∥_{∞}) is Banachraum, wobei X topologisch.

56. Satz von Stone-Weierstraß.

4 Differentialrechnung

1. Differenzierbarkeit (versch. Charakterisierungen) von Funktionen einer reellen Veränderlichen mit Werten im Banachraum

2. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.

3. höhere Ableitungen

4. Summen und Produktregel, Kettenregel

5. Ableitung der Potenzfunktion (rationale Exponenten).

6. Mittelwertsatz,

7. f′ = 0 impliziert f lokal konstant.

8. f′ > 0 impliziert f lokal monoton wachsend.

9. Vertauschung von Ableitung und Grenzwert

10. Monotone punktweise Konvergenz und kompakter Definitionsbereich impliziert gleichmäßige Konvergenz (Satz von Dini).

11. Ableitung der Potenzfunktion (reelle Exponenten)

12. (C_{b}^{k}(U, E), ∥.∥_{∞,k}) ist Banachraum (U ⊂ IR offen, E Banachraum)

13. Reihen in Banachräumen, Konvergenz, absolute Konvergenz

14. geometrische Reihe, harmonische Reihe

15. Notwendige und hinreichende Konvergenzkriterien (Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnitzkriterium)

16. Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen

17. Gegenbeispiele zum Umordnungssatz für nicht absolut konvergente Reihen

18. Produkt und Summe von Reihen 19. Exponentialfunktion (mit komplexem Argument, Funktionalgleichung,

weitere Eigenschaften, Eulersche Formel)

20. sin, cos, etc.

21. Differentialrechnung mit Exponentialfunktion, sin, cos, etc.

22. differenzierbare Umkehrfunktionen

23. Differentialrechnung mit log_{x}

24. lokale Extrema

25. Lokales Extremum ist Nullstelle der Ableitung.

26. Satz von Rolle

27. 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

28. 2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

29. Nullstellen von sin, die Zahl π, spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen

30. Die Regeln von l’Hospital

5 Integralrechnung

1. Zerlegungen, Verfeinerung von -

2. einfache Funktionen

3. Integral einfacher Funktionen

4. Ober- und Unterintegral beschränkter Funktionen

5. Riemann-Integrierbarkeit

6. Flächenberechnung mittels Integral

7. Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.

8. Stückweise Riemann-intergrierbar ist Riemann-integrierbar.

9. Linearität des Integrals

10. Additivität des Integrals

11. Positivität des Integrals

12. Stetigkeit des Integrals (bez. ∥.∥_{∞}), Vertauschung mit gleichmäßigen Grenzwerten.

13. Mittelwertsatz der Integralrechnung

14. Die Riemann-integrierbaren Funktionen bilden einen Banachraum mit Norm ∥.∥_{∞}.

15. Integration vektorwertiger Funktionen

16. Stammfunktionen

17. Die Differenz zweier Stammfunktionen ist konstant.

18. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

19. Stetige Funktionen haben Stammfunktionen.

20. Berechnung von Integralen mit Stammfunktionen

21. Regeln (partielle Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung)

22. Tabelle von Stammfunktionen

23. uneigentliche Integrale

6 Approximation von Funktionen

6.1 Polynome

1. Potenzreihen, Konvergenzradius (mit Werten in Banachräumen)

2. analytische und holomorphe Funktionen (mit Werten in Banachräumen)

3. Es gibt glatte und nicht analytische Funktionen.

4. Taylorsche Formel

5. log ist analytisch

6.2 Fourierreihen

1. (C_{per}^{k}(IR), ∥.∥_{∞,k}) is Banachraum.

2. Orthogonalitätsrelation

3. Fourierkoeffizienten bilden Nullfolge.

4. Lipschitzbedingung impliziert punktweise Konvergenz der Fourierreihe.

5. C^{2}-Bedingung ist hinreichend für gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe.

6. C_{per}^{∞}(IR) wird bijektiv auf S(ZZ) abgebildet.

7. Cesaro-Summation liefert gleichmäßige Fourier-Approximation stetiger Funktionen