1 Bicategorien

Sei T die Kategorie mit einem Objekt o und einem Morphismus 1_{o}.

Definition 1.1. Eine Bikategorie ist durch folgende Daten gegeben:

1. eine Klasse von Objekten C

2. für je zwei Objekte x,y ∈ C eine Kategorie C(x,y)

3. für je drei Objekte x,y,z ein Bifunktor ⊗_{x,y,z}: C(x,y) × C(y,z) → C(z,x)

4. für jedes Objekt x ∈ C ein Funktor 1_{x}: T → C(x,y), wir setzen id_{x}:= 1_{x}(id_{o})

5. für je vier Objekte x,y,z,w ∈ C eine natürliche Transformation Ψ_{x,y,z,w}: ⊗_{x,z,w}∘ (⊗_{x,y,z}× id_{C(z,w)}) → ⊗_{x,y,w}∘ (id_{C(x,y)}× ⊗_{x,z,w})

6. für je zwei Objekte x,y ∈ C natürliche Transformationen L_{x,y}: 1_{x}(id_{o})⊗_{x,x,y}··· → id_{C(x,y)}, R_{x,y}: ··· ⊗_{x,y,y}1_{y}(id_{o}) → id_{C(x,y)}

Die natürlichen Transformationen erfüllen höhere Kohärenzbedingungen.

1. Kategorie der Kategorien : für Kategorien x,y ist C(x,y) die Kategorie der Funktoren und natürlichen Transformationen

2. monoidale Kategorien : ein Objekt ∗, C(∗,∗) ist die Kategorie und ⊗_{∗,∗,∗} die monoidale Struktur

3. Kategorien : C ist die Kategorie, C(x,y) ist die Menge der Morphismen

Definition 1.2. Zwei Objekte x,y in einer Bikategorie C sind isomorph, wenn es Objekte f ∈ C(x,y) und g ∈ C(y,x) gibt, so daß f ⊗ g ≅ 1_{y} und g ⊗ f ≅ 1_{x} gilt.

2 Die Bikategorie der Poissonmannigfaltigkeiten Poisson

Fakten über symplektische Gruppoide

• Ein symplektisches Gruppoid ist ein Liegruppoid G →^{→} G_{0} mit einer symplektischen Struktur auf G derart, daß der Graph der Multiplikation eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit von G × G × G_{−} ist.

• Ein symplektischer Linksmodul ist durch eine symplektische Mannigfaltigkeit S, eine Abbildung S → G_{0} und eine Wirkung G×_{G_{0}}S → S gegeben, deren Graph in G×S ×S_{−} lagrangesch ist (symplektische Rechtsmodule werden analog definiert).

• Seien G →^{→} G_{0}, G′ →^{→} G′_{0} symplektische Gruppoide. Ein symplektischer G−G′-Bimodul S heißt regulär, wenn er als Linksmodul prinzipal und als Rechtsmodul eigentlich ist.

• Ist G →^{→} G_{0} ein symplektisches Gruppoid, so hat G_{0} eine induzierte Poissonstruktur und s,t sind vollständig Fakten über Poissonmannigfaltigkeiten

• Eine Poissonmannigfaltigkeit P heißt integrabel, wenn es ein symplektisches Gruppoid Γ(P) →^{→} P gibt, welches s zusammenhängend und s-einfachzusammenhängend ist.

• Eine Darstellung von P ist durch eine symplektische Mannigfaltigkeit S und eine vollständige Poissonabbildung S → P gegeben.

• Ist P integrabel, so dehnt sich die Darstellung S → P sich zu einem Γ(P)-Modul aus.

• Für zwei Darstellungen S → P (prinzipal) und T → P haben wir S♯_{P}T → P definiert (eine Reduktion von S ×_{P}T).

Seien P,Q Poissonmannigfaltigkeiten.

Definition 2.1. Ein regulärer symplektischer Bimodul ist ein Digramm Q ←^{q} S →^{p} P, wobei gilt :

1. S symplektisch

2. p,q vollständig

3. q (p) (anti)Poisson

4. {q^{∗}C^{∞}(Q),p^{∗}C^{∞}(P)} = 0

5. der induzierte Γ(Q) − Γ(P)-bimodul S ist regulär

Definition 2.2. Für reguläre symplektische Bimoduln

(Q,S,P) := Q ← S → P

und

(P,T,R) := P ← T → R

definieren wir (Q,S,P) ⊗ (P,T,R) := (Q,S♯_{P}T,R) .

Definition 2.3. Die Objekte der Bikategorie Poisson sind die integrablen Poissonmannigfaltigkeiten. Die Kategorie Poisson(Q,P) wird aus den regulären symplektischen Bimodulen Q ←^{q} S →^{p} P und Isomorphien gebildet. Die Komposition wird durch

(Q,S,P) ⊗ (P,T,R) := (Q,S♯_{P}T,R)

und die Identität durch (P,Γ(P),P) gegeben.

Definition 2.4. Zwei Poissonmannigfaltigkeiten heißen Moritaäquivalent, falls sie isomorph in Poisson sind.

Lemma 2.5. Zwei zusammenhängende symplektische Mannigfaltigkeiten sind genau dann Moritaäquivalent, wenn ihre Fundamentalgruppen isomorph sind.

Korollar 2.6. Alle symplektischen 2-Tori sind Moritaäquivalent.

3 Die Bikategorie der Liegruppoide LG

Seien G →^{→} G_{0}, G′→^{→} G′_{0} Liegruppoide. Ein G−G′-Bimodul G_{0} ← M → G′_{0} heißt regulär, wenn er als Linksmodul prinzipal und als Rechtsmodul eigentlich ist.

Definition 3.1. Die Objekte der Kategorie LG sind die Liegruppoide. Die Kategorie LG(G,G′) wird durch reguläre G−G′-Bimoduln und Isomorphien gegeben. Die Komposition

LG(G,G′) × LG(G′,G′′) → LG(G,G′′)

ist durch

M ⊗ M′:= (M ×_{G′_{0}}M′)/G′

gegeben. Die Identitäten sind G ∈ LG(G,G).

Definition 3.2. Zwei Liegruppoide heißen Moritaäquivalent, falls sie isomorph in LG sind.

4 Der Funktor A^{∗}

Sei G →^{→} G_{0} ein Liegruppoid. Wir definieren das assoziierte Liealgebroid A(G) → G_{0} wie folgt :

Definition 4.1. 1. A(G) ist das Normalenbündel von G_{0} ⊂ G.

2. Es gibt einen natürlichen Isomorphismus A(G) ≅ T_{s}G_{|G_{0}} (T_{s}G ist das vertikale Bündel von s : G → G_{0}). Schnitte von A(G) werden mit linksinvarianten Vektorfeldern in T_{s}G identifiziert.

3. Der Kommutator von Schnitten von A(G) entspricht unter dieser Identifikation dem Kommutator von Vektorfeldern auf G.

Sei M ein G-Modul. Dann haben wir eine vollständige Poissonabbildung (Momentenabbildung)

J^{L}: T^{∗}M_{−} → T^{∗}G .

Sei

m: G ×_{G_{0}}M → M

die Wirkung. Dann haben wir

T m: A(G) ×_{G_{0}}T M → T M .

Definition 4.2. J^{L}(ω)(X) := −ω(T m(X)).

Sei A(G) das Liealgebroid von G. Dann ist A^{∗}(G) eine integrable Poissonmannigfaltigkeit. Es gilt

Γ(A^{∗}(G)) = T^{∗}G .

Hier wird G als G−G-Bimodul betrachtet, t,s werden durch J^{L},J^{R} gegeben. Die Multiplikation ist α ∘ β =: γ wobei gilt :

α ∈ T_{a}^{∗}G , β ∈ T_{b}^{∗}G , γ ∈ T_{a∘b}^{∗}G ,
α(X) + β(Y) = γ(T m(Z))

für alle Z = (X,Y) ∈ T G_{2}.

Ist M ein G-Modul, so wird J : T^{∗}M → A^{∗}(G) ein T^{∗}G-Modul und damit eine Darstellung von A^{∗}(G).

Definition 4.3. Wir erhalten einen Funktor A^{∗} : LG → Poisson, welcher durch

G ↦ A^{∗}(G)

und

(G ← M → G′) ↦ (A^{∗}(G) ← T^{∗}M → A^{∗}(G′))

gegeben wird.

Definition 4.4. Das Bild von A^{∗} ist die Kategorie LPoisson.

\underline{Bemerkung :} Es gibt einen inversen Funktor (A^{∗})^{−1} .

5 Die Bikategorie der C^{∗}-Algebren C^{∗}

Seien A,B C^{∗}-Algebren.

Definition 5.1. Ein Hilbert A−B−C^{∗}-Bimodul ist ein C^{∗}-B-Modul E mit einem nichtentartetem Homomorphismus A → B(E).

Definition 5.2. Die Objekte von C^{∗} sind separable C^{∗}-Algebren. Die Kategorie C^{∗}(A,B) ist die Kategorie der Hilbert A − B − C^{∗}- Bimoduln und Isomorphismen. Die Komposition von E ∈ C^{∗}(A,B) und F ∈ C^{∗}(B,C) wir durch E ⊗_{B}F gegeben. Die Indentität 1_{A}ist A ∈ C^{∗}(A,A).

Definition 5.3. Zwei C^{∗}-Algebren heißen Moritaäquivalent, wenn sie in C^{∗} isomorph sind.

Die invertierbaren Morphismen werden so charakerisiert : Satz 5.4. E ∈ C^{∗}(A,B) ist invertierbar, wenn gilt :

1. < E,E >⊂ B dicht

2. A ≅ K(E) Der inverse Module ist gegeben durch E mit der B − A − C^{∗}-Bimodulstruktur

ea:= a^{∗}e , be = eb^{∗} ,

und dem A-wertigen Skalarprodukt

< e,f >:= θ_{e,f} ∈ K(E) ≅ A ,

wobei θ_{e,f} (g) = e < f,g >.

Satz 5.5. Die Zuordnung G ↦ C^{∗}(G) dehnt sich zu einem Funktor

C^{∗} : LG → C^{∗}

aus.

Zur Konstruktion :

• Seien M,N,Q ein prinzipale G-Linksmoduln, p_{M}: M → G_{0}, etc. die Projektionen. Dann setzen wir

(M,N)_{G}:= C_{c}^{∞}(M ×_{G_{0}}N)^{G}

(Halbdichtenschnitte). Wir haben eine Komposition

∗: (M,N)_{G}⊗ (N,Q)_{G} → (M,Q)_{G}

durch

f ∗ g(m,q) := ∫_{p_{N}^{−1} (p_{M}(m))}f(m,n)g(n,q) .

• Wir haben einen Flip F : (M,N)_{G} ≅ (N,M)_{G} , F (f)(n,m) := f̄(m,n) .

• Es gilt (G,M)_{G} ≅ C_{c}^{∞}(M). •

(G,G)_{G}⊗ (G,G)_{G} → (G,G)_{G}

gibt C^{∗}(G) nach Vervollständigung. •

∗ ∘ (id_{(G,M)_{G}}× F) : (G,M)_{G}⊗ (G,M) → (G,G)_{G}

gibt das Skalarprodukt.

• Sei M-biprinzipaler G − H-Bimodul. Dann gilt (G,M)_{G} ≅ C_{c}^{∞}(M) ≅ _{H}(M,H) .

• C^{∗}(M) ist definiert als Abschluß von _{H}(M,H) zu einem C^{∗}- C^{∗}(H)-Hilbertmodul.

6 Der Funktor Q: LPoisson → C^{∗}

Wir haben einen Funktor

Q: LPoisson → C^{∗} ,

welcher durch die Komposition

LPoisson →^{(A^{∗})^{−1}} LG →^{C^{∗}} C^{∗}

gegeben wird.

\underline{Bemerkung :} Es entsteht die Frage, ob dieser Funktor auf Poisson ausgedehnt werden kann. Alle symplektischen 2-Tori T sind integrabel und paarweise Moritaäquivalent. Man möchte die Nichtkommutativen Tori A_{T} als Quantisierungen C^{∗}(T) auffassen. Aber A_{T} bestimmt T bis auf symplektische Isomorphie. Es gibt also keine Ausdehnung von C^{∗} auf Poisson derart, daß

C^{∗}(T) = A_{T}

gilt.

7 Die KK-Bikategorie

Definition 7.1. Die Objekte von KK sind die separablen C^{∗}-Algebren. Die Kategorie KK(A,B) ist dieselbige Menge. Die Komposition

KK(A,B) × KK(B,C) → KK(A,C)

ist das Kasparovprodukt ⊗_{B}.

Definition 7.2. Zwei Algebren heißen KK-äquivalent, falls sie in KK isomorph sind.

• Wir haben keinen offensichtlichen Funktor C^{∗} → KK. E ∈ C^{∗}(A,B) definiert nur dann ein Element in KK(A,B), wenn E als B-Modul projektiv ist. Allerdings, invertierbare E induzieren KK-äquivalenzen.

• Landsman glaubt, daß man einen Funktor KC^{∗} : LG → KK konstruieren kann (Problem : K-Orientierung zur Definition des F ∈ B(E).)

• Die Komposition KC^{∗} ∘ (A^{∗})^{−1} : LPoisson → KK hätte eine Chance der Ausdehnung auf Poisson, da alle nichtkommutativen Tori A_{T} KK-äquivalent sind.

8 Deformationsquantisierung Wir haben bisher Quantisierung bei fester Planckkonstanten ℏ betrachtet. Für ein Liegruppoid G haben wir eine strikte Quantisierung von P := A^{∗}(G) konstruiert, d.h. eine C(I)-ALgebra A mit

1. A ist ein stetiges Feld über I.

2. Q: C_{c}^{∞}(P) → A ist ein ∗-Homomorphismus

3. A_{0} ≅ C_{0}(P)

4. lim_{ℏ→0} ∥\frac{i}{ℏ}[Q(f)(ℏ),Q(g)(ℏ)] − Q(\{f,g\})(ℏ)∥ = 0 Definition 8.1. Wir definieren die Kategorie C^{∗}_{I}, deren Objekte C(I)-Algebren und Isomorphismen sind, und deren Morphismen die Kategorien der Bimoduln über C(I) sind.

Definition 8.2. Wir definieren die Kategorie RKK(I) durch Modifikation von KK für C(I)-Algebren.

• Ist durch C_{I}^{∗}: LG → C^{∗}_{I} (durch strikte Quantisierung von A^{∗}(G)) ein Funktor gegeben? Hätten damit

Q_{I} : LPoisson → C^{∗}_{I}

konstruiert.

• Gibt es einen Funktor RKC^{∗} : LPoisson → RKK(I), welcher über Q_{I} “faktorisiert”, und welcher sich auf Poisson ausdehnt.

9 Nichtkommutative Tori

Einige Fakten über nichtkommutative Tori.

Sei θ ∈ Λ^{2}(R^{n})^{∗}. Wir setzen γ(x,y) := exp(πiθ(x,y)).

Definition 9.1. Der nichtkommutative Torus T_{θ} wird ist die universelle C^{∗}-Algebra, welche durch unitäre Elemente U_{x}, x ∈ ℤ^{n}, mit U_{x}U_{y}= γ(x,y)U_{x+y} erzeugt wird.

• θ definert eine Poissonstruktur auf T^{n} = (ℝ^{n})^{∗}/ℤ^{n} durch

{f,g}_{θ} := θ(df,dg) .

• Sei n = 2m. Wir fixieren die hyperbolische Form

q(x) := (x_{1}x_{m+1} + ...x_{m}x_{n}) ,

welche wir als Metrik auf T^{n} betrachten. Es gilt dann :

Satz 9.2. Sind (T^{n},{,}_{θ},q) und (T^{n},{,}_{θ′},q) isomorph, , so sind A_{θ} und A_{θ′}Moritaäquivalent.

• Ist n = 2, so gilt die Umkehrung.

• Ist n > 2, so gibt es Gegenbeispiele zur Umkehrung.

• A_{θ} besitzt eine glatte Unteralgebra A_{θ}^{∞}. Vermutungsweise bestimmt die Moritaäquivalenzklasse von A_{θ}^{∞} die Isomorphiekllasse von (T,θ,q).

10 Ergänzungen

1. 2.

3. • In einem symplektischen Gruppoid G →^{→} G_{0} sind s^{∗}C^{∞} (G_{0}) und t^{∗}C^{∞} (G_{0}) kommu-

tatanten.

• die induzierte Poissonstruktur wird durch s^{∗}{f,g} := {s^{∗}f,s^{∗}g} definiert. Dazu muß nur verifiziert werden, daß {s^{∗}f,s^{∗}g} entlang G_{x} constant ist. Die Vektorfelder entlang dieser Faser sind erzeugt von X_{r^{∗}h} (G s-zusammenhängend angenommen).

4. • Die Ausdehnung erhält man wie folgt. Sei γ ∈ Γ(P)_{x}^{y} und s ∈ S_{x}. Wir müssen γs ∈ S_{y} definieren. Sei h := (h_{u})_{u∈I} eine Familie in C^{∞} (P) mit exp(t^{∗}h)(id_{x}) = γ. Dann setzen wir γs:= exp(p^{∗}h)s (p: S → P).

• S ×_{P}T wird nach Nullfaserung reduziert. 5. 6. 7. 8.

9. • hier wird A(G) mit T_{s}G_{|G_{0}} identifiziert. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. Sei T = ℝ^{2}/(ℤ + αℤ). Man zeigt, daß A_{T} genau eine normalisierte Spur τ besitzt und τ(Proj(A_{T})) = ℤ + αℤ gilt.