Einige Bemerkungen zur symplektischen Geometrie

Ulrich Bunke

March 11, 1993

Contents

1 Die Momentenabbildung 1

2 Der Marsden-Weinstein Quotient 3

3 Quotienten von Kählermannigfaltigkeiten 3

4 Quotienten von Hyperkählermannigfaltigkeiten 5

5 Der Modulraum der Monopole 5

1 Die Momentenabbildung

Sei (M^{2n}, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit und G eine Lie-Gruppe symplektischer Automorphismen von (M, ω) mit der Lie-Algebra g. Ein X ∈ g induziert ein fundamentales Vektorfeld X^{∗} auf M derart, daß die Lie-Ableitung der symplektischen Form ω nach X^{∗} verschwindet.

L_{X^{∗}}ω = i_{X^{∗}}dω + d(i_{X^{∗}}ω) = 0  (1)

Wegen dω = 0 ist i_{X^{∗}}ω geschlossen. Verschwindet die Kohomologieklasse [i_{X^{∗}}ω] ∈ H^{1}(M, R), so existiert eine Stammfunktion μ^{X} : M → R, die bis auf eine möglicherweise von X abhängende Konstante c(X) eindeutig bestimmt ist. Wir wollen c so wählen, daß μ : M → g^{∗} durch μ(m)(X) := μ^{X}(m), m ∈ M eine äquivariante Abbildung definiert. Es muß also

μ^{X}(gm) = μ^{Ad(g)X}(m)  (2)

gelten. Fixieren wir ein m_{0} ∈ M, so ist μ durch ein c ∈ g^{∗} vermöge

μ^{X}(m) = c(X) + ∫_{γ} i_{X^{∗}}ω  (3)

gegeben, wobei γ ein Weg von m_{0} nach m ist.

Ist G zusammenhängend und expg = G, so genügt es, die Äquivarianz infinitesimal zu sichern. Sei g_{t} := exptY. Dann gilt:

(∂_{t}μ^{Ad(g_{t})(X)}(m))_{∥t=0} = (∂_{t}c(Ad(g_{t})(X)))_{∥t=0} + (∂_{t} ∫_{γ} i_{(Ad(g_{t})(X))^{∗}}ω)_{∥t=0}  (4)
= c([Y, X]) + ∫_{γ} i_{[Y,X]^{∗}}ω
= μ^{[Y,X]}(m)
∂_{t}μ^{X}(g_{t}m) = ω(X^{∗}, Y^{∗})_{m}  (5)

Es folgt die Bedingung:

μ^{[Y,X]}(m) = ω(X^{∗}, Y^{∗})_{m}  (6)

Wir zeigen

Lemma 1.1 Ist die Bedingung (6) in einem Punkt m erfüllt und M zusammenhängend, so gilt (6) in jedem Punkt.

Beweis: Sei m_{t} ein Weg in M mit (∂_{t}m_{t})_{∥t=0} = A. Dann genügt es es zu zeigen, daß für alle Y, X ∈ g

(∂_{t}μ^{[Y,X]}(m_{t}))_{∥t=0} = (∂_{t}ω(X^{∗}, Y^{∗}))_{m_{t}∥t=0}.  (7)

Die linke Seite von (7) ergibt aber ω([Y, X]^{∗}, A), während die rechte Seite Aω(Y^{∗}, X^{∗}) ist. Die Behauptung des Lemmas folgt nun aus

dω(X^{∗}, Y^{∗}, A) = 1/3{X^{∗}(ω(Y^{∗}, A)) + Y^{∗}(ω(A, X^{∗})) + A(ω(X^{∗}, Y^{∗}))  (8)
−ω([X^{∗}, Y^{∗}], A) − ω([Y^{∗}, A], X^{∗}) − ω([A, X^{∗}], Y^{∗})}
= 0
d(i_{X^{∗}}ω)(Y^{∗}, A) = 1/2{Y^{∗}(ω(X^{∗}, A)) − A(ω(X^{∗}, Y^{∗}))  (9)
−ω(X^{∗}, [Y^{∗}, A])}
= 0

und der analogen Gleichung für X und Y verstauscht. □.

Um eine äquivariante Abbildung μ zu konstruieren, müssen wir noch einsehen, ob wir (6) in einem Punkt, z.B. m_{0}, erfüllen können. Es gilt

μ^{[Y,X]}(m_{0}) = c([Y, X]) = ω(X^{∗}, Y^{∗})_{m_{0}}.  (10)

Dazu wiederholen wir etwas Lie-Algebrenkohomolgie. Sei C^{i}(g) := Λ^{i}g^{∗} der Raum der Koketten und d^{i} : C^{i}(g) → C^{i+1}(g) das Differential. Es gilt d^{0} := 0,

(d^{1}c)(X, Y) := −c([Y, X])  (11)
(d^{2}α)(X, Y, Z) := α([Y, X], Z) + α([X, Z], Y) + α([Z, Y], X).  (12)

Da ω geschlossen ist und die Gruppe symplektisch wirkt, prüft man leicht nach, daß die Abbildung (X, Y) ∈ Λ^{2}g → ω(X^{∗}, Y^{∗})_{m_{0}} ∈ R einen Kozyklus definiert. Gleichung (10) zeigt, daß dieser sogar ein Rand sein muß. Es gilt nun der folgende Satz 1.2 Ist G halbeinfach, so verschwindet H^{2}(g).

Wir haben damit bewiesen

Satz 1.3 Ist G eine halbeinfache Gruppe die auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit H^{1}(M, R) = 0 wirkt, so existiert eine äquivariante Abbildung μ : M → g^{∗} derart, daß dμ(.)(X) = i_{X^{∗}}ω ist.

Diese Abbildung heißt Momentenabbildung und ist durch (6) algebraisch definiert.

2 Der Marsden-Weinstein Quotient

Wir nehmen an, daß eine kompakte Gruppe G auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M^{2n}, ω) fixpunktfrei wirkt. Im allgemeinen ist die Quotientenmannigfaltigkeit G\M nicht natürlich symplektisch. Wenn eine Momentenabbildung μ : M → g^{∗} existiert, so kann diese ausgenutzt werden um eine Untermannigfaltigkeit von M auszuschneiden, auf der eine Untergruppe von G wirkt und so daß der Quotient symplektisch ist.

Sei W ∈ g^{∗} und H_{W} := {g ∈ G|Ad(g)^{∗}W = W } mit der Liealgebra h.

Lemma 2.1 Die Menge μ^{−1}(W) =: Ñ ist eine (2n − dimG)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M auf der H_{W} wirkt.

Beweis: Es reicht zu zeigen, daß μ auf Ñ eine Submersion ist. Tatsächlich ist

Kerdμ = {A ∈ T M|dμ^{X}(A) = 0 ∀X ∈ g}  (13)
= {A ∈ T M|ω(X^{∗}, A) = 0 ∀X ∈ g}

Weil ω nichtentartet ist und G fixpunktfrei wirkt, ist der Kern durch dimG unabhängige Gleichungen bestimmt. Das zeigt den ersten Teil der Behauptung. Der zweite folgt aus der G-Äquivarianz von μ. □

Sei N := H_{W} \Ñ und π : Ñ → N die Projektion. Ñ ist ein H_{W} -Hauptfaserbündel über N. Für Y_{1}, Y_{2} ∈ T_{n}N setzen wir ρ(Y_{1}, Y_{2}) := ω(Ỹ_{1}, Ỹ_{2}) wobei dπỸ_{i} = Y_{i}.

Lemma 2.2 ρ ist wohldefiniert und eine symplektische Form auf N.

Beweis: Wohldefiniertheit: Seien X_{i}^{∗} ∈ kerdπ fundamentale Vektoren zu X_{i} ∈ h. Dann gilt

ω(Ỹ_{1} + X_{1}^{∗}, Ỹ_{2} + X_{2}^{∗}) = ω(Ỹ_{1}, X_{2}^{∗}) + ω(X_{1}^{∗}, Ỹ_{2}) + ω(X_{1}^{∗}, X_{2}^{∗}) + ω(Ỹ_{1}, Ỹ_{2}) (14)
= ω(Ỹ_{1}, Ỹ_{2})

weil alle anderen Terme wegen (13) verschwinden. Nichtentartetheit: Sei ρ(Y_{1}, Y) = 0, ∀Y ∈ T_{n}N. Dann ist ω(Ỹ_{1}, Ỹ) = 0, ∀Ỹ ∈ TñÑ. Damit ist aber Ỹ_{1} vertikal und Y_{1} = 0. Geschlossenheit : Sei j : Ñ → M die Einbettung. Dann ist π^{∗}ρ = j^{∗}ω und

π^{∗}dρ = d(π^{∗}ρ) = d(j^{∗}ω) = j^{∗}dω = 0.  (15)

Da π eine Submersion ist, folgt dρ = 0. □

Korollar 2.3 N := H_{W} \μ^{−1}(W) ist eine symplektische Mannigfaltigkeit.

Diese heißt auch Marsden-Weinstein Quotient. Speziell kann man W = 0 und H_{W} = G wählen.

3 Quotienten von Kählermannigfaltigkeiten

Sei (M^{2n}, I, g) eine Kählermannigfaltigkeit, auf der eine kompakte Lie-Gruppe G mit der Lie-Algebra g fixpunktfrei wirkt. Im allgemeinen ist der Quotient G\M keine Kählermannigfaltigkeit in natürlicher Weise, da G nicht komplex ist. Wenn man die Wirkung auf die (nicht kompakte) Komplexifizierung von G ausdehnen kann so muß der Quotient nicht mehr Hausdorff sein. Schränkt man sich jedoch auf die Menge der Orbits, die μ^{−1}(0) =: Ñ ⊂ M (μ - die Momentenabbildung) schneiden ein, so erhält man eine kählersche Faktormannigfaltigkeit.

M ist eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der symplektischen Form ω := g(I,). Sei p : Ñ := μ^{−1}(0) → N := G\Ñ der Marsden-Weinstein Quotient.

Satz 3.1 I induziert auf N in natürlicher Weise eine komplexe Struktur, die integrabel und bezüglich g^{N} hermitesch ist, so daß die symplektische Struktur ρ auf N die Kählerform wird.

Beweis : Es genügt, G-äquivariante Strukturen über Ñ zu beschreiben. Das Tangentialbündel von N ist durch ein G-invariantes (horizontales) Bündel H in T M_{|Ñ} gegeben. Der Levi-Civita Zusammenhang von N ist durch die Projektion des Zusammenhangs von M auf H induziert.

p^{∗}∇^{LC(N)} = pr_{H}∇^{LC(M)}.  (16)

Sei X_{i}, i = 1, …, dimG eine Basis von g. Dann spannen die Vektoren gradμ^{X_{i}} das orthogonale Komplement von T Ñ in T M_{|Ñ} und die Vektoren X_{i}^{∗} das Komplement von H in T Ñ auf. Komplexe Struktur: Wir haben auf H eine G-invariante komplexe Struktur, wenn H das Komplement eines G-invarianten komplexen Unterbündels ist. Tatsächlich gilt

g(gradμ^{X_{i}}, X_{j}^{∗}) = dμ^{X_{i}}(X_{j}^{∗}) = ω(X_{i}^{∗}, X_{j}^{∗}) = g(IX_{i}^{∗}, X_{j}^{∗})  (17)
gradμ^{X_{i}} = IX_{i}^{∗}.  (18)

Diese komplexe Struktur induziert eine solche auf N. Integrabilität : Zwei (1, 0)-Vektorfelder X, Y induzieren G-invariante (1, 0)-Vektorfelder X̃, Ỹ in H ⊗ C. Dann ist aber pr_{H}[X̃, Ỹ] ein G-invariantes (1, 0)-Vektorfeld, welches vom Kommutator [X, Y] kommt. Hier haben wir ausgenutzt, daß I mit pr_{H} kommutiert. Kählerstruktur : N ist Kähler da [pr_{H}∇, I] = 0. □

Lemma 3.2 Die Abbildung ϕ gegeben durch X_{i} → X_{i}^{∗}, IX_{i} → gradμ^{X_{i}} = IX_{i}^{∗} definiert eine Darstellung der Lie-Algebra g ⊗_{R} C der Komplexifizierung G_{C} von G.

Beweis : Sei X ein Killingvektorfeld auf M und seien f,h glatte Funktionen. Dann gilt

Xgradh f = X < gradh, gradf >  (19)
= < [X, gradh], gradf > + < gradh, [X, gradf] >
= [X, gradh)]f + [X, gradf]h
= Xgradh f − gradh Xf + [X, gradf]h

also

[X, gradf] = grad(Xf).  (20)

Folglich ist

[ϕ(X_{i}), ϕ(IX_{j})] = [X_{i}^{∗}, gradμ^{X_{j}}] = grad(X_{i}^{∗}μ^{X_{j}}) = grad(μ^{[X_{i},X_{j}]}) = I[ϕ(X_{i}), ϕ(X_{j})].

(21)

Die Gleichung

[ϕ(IX_{i}), ϕ(IX_{j})] = [gradμ^{X_{i}}, gradμ^{X_{j}}] = [IX_{i}^{∗}, IX_{j}^{∗}] = −[X_{i}^{∗}, X_{j}^{∗}]  (22)

folgt aus der Integrabilität von I. □

4 Quotienten von Hyperkählermannigfaltigkeiten

Sei (M^{4n}, g, I, J, K) eine Hyperkählermannigfaltigkeit, auf der eine kompakte Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra g fixpunktfrei wirkt. Dann hat wie im kählerschen Fall die Faktormannigfaltigkeit G\M im allgemeinen keine natürlich Kählerstruktur.

M hat drei symplektische Strukturen ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} durch I, J, K induziert. Die entspechenden Momentenabbildungen fassen wir zusammen zu einer Abbildung μ : M → g^{∗} ⊗ R^{3}

Lemma 4.1 Die Menge Ñ := μ^{−1}(0) ⊂ M ist eine Untermannigfaltigkeit.

Beweis : μ ist auf Ñ eine Submersion. Sei dμ(A)(X) = 0, ∀X ∈ g. Dann gilt nach (13) ω_{i}(X^{∗}, A) = 0. Nun sind aber ω_{l}(X_{i}^{∗}, ), l = 1, 2, 3 3dimG linear unabhängige Formen, wenn X_{i} eine Basis von g durchläuft. Sei aω(X_{i}^{∗}, )+bω(X_{j}^{∗}, )+cω(X_{k}^{∗}, ) = 0. Dann gilt aIX_{i}^{∗} = −bJX_{j}^{∗} − cKX_{k}^{∗}. Multiplizieren wir diese Gleichung mit I, so erhalten wir, daß aX_{i}^{∗} eine Linearkombination aus den Gradienten von Momentenabbildungen (18) ist, die aber senkrecht auf den fundamentalen Vektorfeldern stehen. Also muß a = 0 sein. Damit ist auf Ñ dim kerdμ = 4n − dimG und μ ist aus Dimensionsgründen eine Submersion. □

Satz 4.2 Die Mannigfaltigkeit N := G\μ^{−1}(0) ist in natürlicher Weise ein Hyperkählermannigfaltigkeit.

Beweis: Die Abbildung μ_{+} := μ_{2} + ıμ_{3} : M → g^{∗} ⊗ C ist holomorph bezüglich I. Tatsächlich gilt

dμ_{+}^{X}(A) = ω_{2}(X^{∗}, A) + ıω_{3}(X^{∗}, A)  (23)
= g(JX, IA) + ıg(KX, JA)
dμ_{+}^{X}(IA) = g(JX, IA) + ıg(KX, IA)  (24)
= −g(KX, A) + ıg(JX, A)
= ıdμ_{+}^{X}(A).

Damit ist L̃ := μ_{+}^{−1}(0) eine Kähleruntermannigfaltigkeit bezüglich I und N = G\(L̃ ∩ μ_{1}^{−1}(0)) nach Satz 3.1 eine Kählermannigfaltigkeit bezüglich der von I induzierten komplexen Struktur. Wiederholt man diese Betrachtung für J, K in analoger Weise, so erhält man zwei weitere Kählerstrukturen auf N. □

5 Der Modulraum der Monopole

Sei P → R^{3} ein G-Hauptfaserbündel und E := P ×_{G} g, wobei g die Lie-Algebra der kompakten Gruppe G ist. Sei

C := {(A, ϕ)|A − Zusammenhang auf P, ϕ ∈ Γ(E), lim_{∥x∥→∞} ∥ϕ∥ = 1}. (25)

Wir verzichten die Spezifizierung von analytischen Eigenschaften und führen nur die formalen algebraischen Argumente an.

Der Raum der Monopole M̃ ist die Menge der Lösungen (A, ϕ) ∈ C der Gleichung

F_{A} = ∗D_{A}ϕ  (26)

wobei F_{A} die Krümmung von A und D_{A} die durch A induzierte kovariante Ableitung auf E ist. M̃ hat eine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur.

Der Tangentialraum an C ist

T_{(A,ϕ)}C := {(a, ψ)|a ∈ Γ(T^{∗}R^{3} ⊗ E), ψ ∈ Γ(E)}.  (27)

Die Metrik auf C ist das L^{2}−Skalarprodukt. Auf M̃ betrachten wir die induzierte Metrik. Wir indentifizieren T_{(A,ϕ)}C mit H ⊗ Γ(E) durch

(a = a_{1}dx^{1} + a_{2}dx^{2} + a_{3}dx^{3}, ψ) → ψ + a_{1}I + a_{2}J + a_{3}K.  (28)

Die Metrik ergibt sich aus der Standardmetrik auf H und der L^{2}-Metrik auf Γ(E). Damit erhält der Tangentialraum von C eine quaternionische Struktur. Da die Metrik und die komplexen Strukturen konstant sind, ist diese kählersch.

Die Eichgruppe G(P) von P wirkt isometrisch auf C durch

g ∘ A := g^{−1}Ag + g^{−1}dg  (29)
g ∘ ϕ := g^{−1}ϕg.  (30)

Die Liealgebra der Eichgruppe ist Γ(E). Ist X ∈ Γ(E) so ist das fundamentale Vektorfeld in (A, ϕ) durch

X^{∗} = (D_{A}X , −[X, ϕ])  (31)

gegeben.

Sei M := G(P)\M̃ der Modulraum der Monopole mit der induzierten Metrik.

G(P) läßt offensichtlich die Hyperkählerstruktur invariant. Seien μ_{i}, i = 1, 2, 3 die Momentenabbildungen. Wir zeigen, daß die Gleichungen μ_{i}(A, ϕ) = 0 äquivalent zu (26) sind. Deshalb ist M ein Hyperkählerquotient wie im vorhergehenden Abschnitt konstruiert. Es gilt für X, Y ∈ Γ(E)

μ_{1}^{[X,Y]}(A, ϕ)  (32)
= ω_{1}(X^{∗}, Y^{∗})_{(A,ϕ)}  (33)
= < I(D_{A}X, −[X, ϕ]) , (D_{A}Y, −[Y, ϕ]) >
= < −∂_{1}X − [A_{1}, X_{1}] , −[Y, ϕ] > + < ∂_{2}X + [A_{2}, X] , ∂_{3}Y + [A_{3}, Y] >
+ < −∂_{3}X − [A_{3}, X] , ∂_{2}Y + [A_{2}, Y] > + < −[X, ϕ] , ∂_{1}Y + [A_{1}, Y] >
= < −[∂_{1}X, ϕ] − [[A_{1}, X], ϕ] − ∂_{2}∂_{3}X − [∂_{3}A_{2}, X] − [A_{2}, ∂_{3}X]
−[A_{3}, ∂_{2}X] − [A_{3}, [A_{2}, X]] + ∂_{2}∂_{3}X + [∂_{2}A_{3}, X] + [A_{3}, ∂_{2}X] + [A_{2}, ∂_{3}X]
+[A_{2}, [A_{3}, X]] + [∂_{1}X, ϕ] + [X, ∂_{1}ϕ] + [A_{1}, [X, ϕ]] , Y >
= < [X , ∂_{1}ϕ + [A_{1}, ϕ] − (∂_{2}A_{3} − ∂_{3}A_{2} − [A_{2}, A_{3}])] , Y >
= − < ∂_{1}ϕ + [A_{1}, ϕ] − F_{23} , [X, Y] > .  (34)

Wenn dieser Ausdruck für alle X,Y verschwinden soll, muß

∂_{1}ϕ + [A_{1}, ϕ] − F_{23} = 0  (35)

sein. Durch zyklische Vertauschung erhält man die Gleichungen für die anderen beiden Momentenabbildungen. Zusammen ergibt sich gerade (26).